Метризуемое пространство

Метризуемым пространством называется топологическое пространство $ X $, топология которого порождается некоторой метрикой $ d $.

Метрика $ d $ на множестве $ X $ представляет собой функцию $ d: X \times X \to [0, \infty) $, удовлетворяющую следующим аксиомам: неотрицательности, тождества неразличимых, симметрии и неравенства треугольника. Иными словами, расстояние между двумя точками всегда неотрицательно, равно нулю только для совпадающих точек, не зависит от порядка точек и удовлетворяет неравенству треугольника.

Метрика $ d $ порождает топологию, в которой открытые множества являются произвольными объединениями открытых шаров вида $ B_r(x) = \{y \in X : d(x, y) < r\} $, где $ r > 0 $ обозначает радиус шара.

Следовательно, топологическое пространство $ X $ называется метризуемым, если существует такая метрика $ d $, что топология, порождённая её открытыми шарами, полностью совпадает с исходной топологией пространства.

Примечание: Это означает, что любое открытое множество пространства $ X $ можно представить в виде произвольного объединения открытых шаров, определяемых метрикой $ d $.

Например, известно, что топология, не удовлетворяющая аксиоме Хаусдорфа, не может быть порождена никакой метрикой. Следовательно, не каждое топологическое пространство является метризуемым.

Практический пример
Примечания

Практический пример

Рассмотрим вещественную прямую $ \mathbb{R} $, наделённую стандартной топологией.

В этой топологии открытые множества представляют собой произвольные объединения открытых интервалов $ (a, b) $, где $ a, b \in \mathbb{R} $ и $ a < b $.

Определим стандартную метрику на $ \mathbb{R} $:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

Она задаёт привычное расстояние между двумя точками вещественной прямой.

При такой метрике открытый шар с центром в точке $ x $ и радиусом $ r $ имеет вид:

$$ B_r(x) = \{ y \in \mathbb{R} : d(x, y) < r \} = (x - r, x + r) $$

То есть открытый шар совпадает с обычным открытым интервалом, который является открытым множеством стандартной топологии.

Поскольку любое открытое множество стандартной топологии на $ \mathbb{R} $ можно представить как объединение открытых интервалов, а каждый такой интервал является открытым шаром соответствующей метрики, вещественная прямая $ \mathbb{R} $ со стандартной топологией является метризуемым пространством.

Пример 2

Рассмотрим произвольное множество $ X $, конечное или бесконечное, с дискретной топологией.

В дискретной топологии каждое подмножество множества $ X $ является открытым.

Определим на $ X $ следующую метрику:

$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0 & \text{если } x = y, \\
1 & \text{если } x \neq y.
\end{cases}
$$

Она называется дискретной метрикой.

Проверим, что эта метрика действительно порождает дискретную топологию.

При данной метрике открытый шар радиуса $ r $ с центром в точке $ x $ имеет следующий вид:

Если $ 0 < r \leq 1 $, то $ B_r(x) = \{ x \} $.
Пояснение: При $ 0 < r \leq 1 $ условию $ d(x, y) < r $ удовлетворяет только значение $ d(x, y)=0 $, а это возможно лишь тогда, когда $ y=x $. Поэтому открытый шар состоит только из центральной точки.
Если $ r > 1 $, то $ B_r(x) = X $.
Пояснение: При $ r > 1 $ условию $ d(x, y) < r $ удовлетворяют как точки с расстоянием 0, так и точки с расстоянием 1. Следовательно, в открытый шар входят все элементы множества $ X $.

Одноточечные множества $ \{x\} $, как и всё множество $ X $, являются открытыми в дискретной топологии.

Поскольку любое подмножество множества $ X $ можно представить как объединение одноточечных открытых шаров, дискретная метрика порождает именно дискретную топологию. Следовательно, пространство $ X $ является метризуемым.

Этот пример показывает, что метрика полностью определяет топологическую структуру пространства.

Примечания

Ниже приведены некоторые важные свойства метризуемых пространств.

Если топологическое пространство $ X $ метризуемо, а пространство $ Y $ гомеоморфно пространству $ X $, то пространство $ Y $ также метризуемо.
Это означает, что метризуемость является топологическим свойством и сохраняется при гомеоморфизмах. Поэтому, если известно, что пространство гомеоморфно метризуемому пространству, дополнительно строить для него метрику уже не требуется.
Теорема Урысона о метризации
Согласно этой теореме, всякое регулярное топологическое пространство со счётной базой является метризуемым. Она служит одним из основных критериев, позволяющих определить, допускает ли данное пространство введение метрики.

И так далее.