Теорема о непрерывности отображений между метрическими пространствами

Эта теорема показывает, как связано понятие непрерывности отображения между метрическими пространствами с классическим определением через $\varepsilon$ и $\delta$. По сути, она обобщает хорошо известное определение непрерывности из математического анализа на более широкий класс пространств.

Отображение $f$ из метрического пространства $(X, d_X)$ в метрическое пространство $(Y, d_Y)$ называется непрерывным, если выполняется следующее условие.

Выберем произвольную точку $x \in X$ и любое число $\varepsilon > 0$, определяющее, насколько близкими должны быть значения функции.
Тогда существует число $\delta > 0$, задающее, насколько близко нужно выбрать точки к $x$.
Если точка $x'$ удовлетворяет условию $$ d_X(x,x') < \delta, $$ то расстояние между образами этих точек также окажется достаточно малым: $$ d_Y(f(x),f(x')) < \varepsilon. $$

Иначе говоря, небольшие изменения аргумента всегда приводят к небольшим изменениям значения функции. Именно это свойство и выражает математическое понятие непрерывности.

Такую формулировку обычно называют определением непрерывности через $\varepsilon$ и $\delta$ или $\varepsilon$-$\delta$-критерием непрерывности для метрических пространств.

Хотя эта запись выглядит более общей, её смысл полностью совпадает с определением непрерывности, изучаемым в курсе математического анализа.

Примечание. Определение непрерывности для функций $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, рассматриваемое в математическом анализе, является частным случаем этого общего определения. Функция непрерывна в точке $x$, если для любого $\varepsilon>0$ существует число $\delta>0$ такое, что из условия $|x-x'|<\delta$ следует неравенство $|f(x)-f(x')|<\varepsilon$. В этом случае используются стандартные метрики: $$ d_X(x,x')=|x-x'|, $$ $$ d_Y(f(x),f(x'))=|f(x)-f(x')|. $$ В метрических пространствах используется та же идея, но вместо обычного модуля могут применяться произвольные метрики.

Наглядный пример
Доказательство

Наглядный пример

Рассмотрим два метрических пространства.

Область определения: $X=\mathbb{R}$ со стандартной метрикой $$ d_X(x,x')=|x-x'|. $$
Область значений: $Y=\mathbb{R}$ со стандартной метрикой $$ d_Y(y,y')=|y-y'|. $$

Пусть отображение задано формулой

$$ f(x)=2x. $$

Покажем, что функция $f(x)=2x$ непрерывна двумя различными способами: через открытые множества и через определение $\varepsilon$-$\delta$. Это позволит увидеть, что оба подхода полностью эквивалентны.

1] Непрерывность через открытые множества

В топологии, индуцированной стандартной метрикой, множество $V\subseteq Y$ называется открытым, если для каждой точки $y\in V$ существует число $\varepsilon>0$, такое что открытый шар

$$ B_Y(y,\varepsilon)=\{y'\in Y\mid |y-y'|<\varepsilon\} $$

целиком содержится в множестве $V$.

Полный прообраз множества $V$ относительно отображения $f$ определяется как

$$ f^{-1}(V)=\{x\in X\mid f(x)\in V\}. $$

Так как $f(x)=2x$, имеем

$$ f^{-1}(V)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2x\in V\}. $$

Поскольку любое открытое множество содержит открытый шар вокруг каждой своей точки, для любого $x\in f^{-1}(V)$ можно выбрать

$$ \delta=\frac{\varepsilon}{2}. $$

Тогда открытый шар $B_X(x,\delta)$ полностью содержится в $f^{-1}(V)$.

Следовательно, полный прообраз любого открытого множества пространства $Y$ также является открытым множеством пространства $X$. Это означает, что функция $f(x)=2x$ непрерывна в топологическом смысле.

2] Непрерывность по определению через $\varepsilon$ и $\delta$

Пусть задана точка $x\in X$ и число $\varepsilon>0$. Требуется подобрать такое число $\delta>0$, чтобы из условия

$$ |x-x'|<\delta $$

следовало

$$ |f(x)-f(x')|<\varepsilon. $$

Поскольку

$$ f(x)=2x,\qquad f(x')=2x', $$

получаем

$$ |f(x)-f(x')|=|2x-2x'|=2|x-x'|. $$

Выберем

$$ \delta=\frac{\varepsilon}{2}. $$

Тогда из условия

$$ |x-x'|<\frac{\varepsilon}{2} $$

непосредственно следует

$$ |f(x)-f(x')|<\varepsilon. $$

Следовательно, функция $f(x)=2x$ непрерывна и согласно определению через $\varepsilon$ и $\delta$.

3] Вывод

Рассмотренный пример показывает, что:

для непрерывной функции полный прообраз любого открытого множества остаётся открытым;
определение непрерывности через открытые множества и определение через $\varepsilon$ и $\delta$ полностью эквивалентны.

Доказательство

Докажем эквивалентность двух классических определений непрерывности отображения $f:X\to Y$, где $X$ и $Y$ являются метрическими пространствами.

Определение через открытые множества. Отображение $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого открытого множества $U\subseteq Y$ полный прообраз $f^{-1}(U)$ открыт в $X$.
Определение через окрестности. Для любой точки $x\in X$ и любого открытого множества $U\subseteq Y$, содержащего точку $f(x)$, существует окрестность $V$ точки $x$, такая что $$ f(V)\subseteq U. $$

1] Из определения через открытые множества следует определение через окрестности

Предположим, что отображение $f$ непрерывно в смысле определения через открытые множества.

Пусть $x\in X$, а множество $U\subseteq Y$ открыто и содержит точку $f(x)$.

Тогда полный прообраз $f^{-1}(U)$ открыт и содержит точку $x$. Следовательно, существует окрестность $V$ точки $x$, удовлетворяющая условию

$$ V\subseteq f^{-1}(U). $$

Отсюда сразу следует

$$ f(V)\subseteq U, $$

что и требовалось доказать.

2] Из определения через окрестности следует определение через открытые множества

Теперь предположим, что выполняется определение через окрестности.

Рассмотрим произвольное открытое множество $W\subseteq Y$ и точку $x\in f^{-1}(W)$. Тогда

$$ f(x)\in W. $$

По предположению существует окрестность $V$ точки $x$, для которой

$$ f(V)\subseteq W. $$

Следовательно,

$$ V\subseteq f^{-1}(W). $$

Таким образом, каждая точка множества $f^{-1}(W)$ является внутренней. Значит, полный прообраз $f^{-1}(W)$ открыт в пространстве $X$.

Итак, оба определения непрерывности полностью эквивалентны.

И так далее.