Расстояние между двумя множествами

Расстояние между двумя множествами $A$ и $B$ в метрическом пространстве $(X, d)$ определяется как инфимум расстояний между всеми возможными парами точек этих множеств: $$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A,\ b \in B \}, $$ где $d(a, b)$ обозначает расстояние между точками $a$ и $b$, заданное метрикой $d$, а $\inf$ (инфимум) является наибольшей нижней гранью множества всех таких расстояний.

Иначе говоря, чтобы найти расстояние между двумя множествами, нужно рассмотреть все возможные пары точек, по одной из каждого множества, вычислить расстояние для каждой пары и определить инфимум полученных значений.

Таким образом, расстояние между множествами равно инфимуму всех возможных расстояний между их точками.

Примечание: Расстояние между множествами показывает, насколько близко могут находиться точки одного множества к точкам другого. Это не означает, что множества обязательно пересекаются или совпадают.

Когда расстояние равно нулю
Практический пример

Когда расстояние равно нулю

Если $d(A, B)=0$, это означает, что точки множеств $A$ и $B$ могут приближаться друг к другу сколь угодно близко. Однако из этого вовсе не следует, что множества имеют общие точки.

Поэтому расстояние между двумя множествами может быть равно $0$, даже если они не пересекаются, то есть

$$ A \cap B = \emptyset. $$

Практический пример

Рассмотрим два множества $A$ и $B$ в метрическом пространстве всех точек числовой прямой, где расстояние задаётся формулой

$$ d=|x_1-x_2|. $$

Разберём три характерных случая.

A] Случай 1

Пусть

$$ A=\{0\}, \qquad B=[1,2]. $$

Тогда расстояние между множествами равно

$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}=d(0,1)=1. $$

Единственная точка множества $A$ находится на расстоянии $1$ от ближайшей точки множества $B$, которой является точка $1$.

example

B] Случай 2

Теперь рассмотрим множества

$$ A=[0,1], \qquad B=[1,2]. $$

В этом случае

$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}=d(1,1)=0. $$

Причина проста: оба множества содержат точку $1$, поэтому расстояние между ними равно нулю.

example

Их пересечение непусто:

$$ A \cap B=\{1\}. $$

C] Случай 3

Пусть теперь

$$ A=(0,1), \qquad B=(1,2). $$

Несмотря на то что оба множества являются открытыми интервалами, расстояние между ними также равно нулю:

$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}. $$

При этом множества не имеют общих точек, поскольку точка $1$ не принадлежит ни одному из них.

$$ A \cap B=\emptyset. $$

Тем не менее точки множества $A$ можно выбирать всё ближе к $1$ слева, а точки множества $B$ всё ближе к $1$ справа. Хотя ни одна из этих точек никогда не совпадёт с $1$, расстояние между ними может становиться сколь угодно малым.

example

Поэтому

$$ d(A,B)=\inf\{|a-b|\mid a\in A,\; b\in B\}=|1-1|=0. $$

Иными словами, множества не пересекаются, но их точки могут располагаться друг к другу сколь угодно близко. Именно поэтому расстояние между ними равно нулю.

Примечание: Нулевое расстояние между двумя множествами не означает, что они совпадают или имеют общие точки. Оно лишь показывает, что точки одного множества могут приближаться к точкам другого настолько близко, насколько это требуется.

И так далее.

```