거리 공간에서의 유계 집합

거리 공간 \((X, d)\)에서 \(d\)를 점들 사이의 거리를 나타내는 거리(metric)라고 하자. 부분집합 \(A \subseteq X\)에 대해, 임의의 두 점 \(x, y \in A\)의 거리 \(d(x, y)\)가 항상 어떤 양수 \(\mu > 0\) 이하가 되도록 하는 \(\mu\)가 존재하면, \(A\)를 유계 집합(bounded set)이라고 한다.

쉽게 말하면, 집합 \(A\) 안의 모든 점들은 서로 일정한 최대 거리 안에 모여 있다는 뜻이다. 다시 말해, 아무리 두 점을 골라도 그 거리가 \(\mu\)를 넘지 않는다.

만약 전체 공간 \(X\) 자체가 거리 \(d\)에 대해 유계라면, \(d\)를 유계 거리(bounded metric)라고 한다.

즉, 공간 안의 어떤 두 점을 선택하더라도 그 거리는 항상 일정한 상수 \(\mu\) 이하이다.

참고: 거리 \(d\)가 유계이면 \(X\)의 모든 부분집합도 자동으로 유계이다. 부분집합에서 가능한 거리 역시 전체 공간에서 가능한 최대 거리를 넘을 수 없기 때문이다.

예제

유클리드 거리를 사용하는 데카르트 평면 \(\mathbb{R}^2\)를 생각해 보자.

두 점 \((x_1, y_1)\)과 \((x_2, y_2)\) 사이의 거리는 다음과 같이 계산된다.

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

이제 원점을 중심으로 하고 반지름이 \(10\)인 닫힌 원판(closed disk)에 포함되는 모든 점들의 집합 \(A\)를 생각하자.

$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$

집합 \(A\)가 유계인지 확인하려면, 집합 안의 모든 두 점 사이의 거리를 항상 어떤 일정한 값 \(\mu\) 이하로 제한할 수 있는지만 확인하면 된다.

이 경우 가장 큰 거리는 두 점이 원판의 지름 양 끝에 있을 때 발생한다. 예를 들어 \((10, 0)\)과 \((-10, 0)\)을 생각해 보자.

이 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-20)^2} = 20 $$

따라서 집합 \(A\)에서 가능한 최대 거리는 \(20\)이다.

즉, 원판 안에서 어떤 두 점을 선택하더라도 그 거리는 결코 \(20\)을 초과하지 않는다.

따라서 집합 \(A\)는 \(\mu = 20\)인 유계 집합이다.

거리의 유계성은 위상에 영향을 주지 않는다

거리 함수가 유계인지 아닌지는 그 거리가 만들어 내는 위상에는 영향을 주지 않는다. 다시 말해, 열린집합과 닫힌집합이 결정되는 방식은 변하지 않는다.

위상이란 무엇인가? 위상은 어떤 집합이 열린집합인지 또는 닫힌집합인지를 결정하는 수학적 구조이다. 이는 거리의 정확한 수치값보다 공간의 구조와 점들 사이의 관계에 의해 결정된다.

따라서 유계가 아닌 거리라도 동일한 위상을 유지하는 유계 거리로 항상 바꿀 수 있다.

즉, 거리 함수의 값이 달라져도 열린집합과 닫힌집합의 구조가 그대로 유지된다면, 두 거리 함수는 같은 위상을 정의한다고 할 수 있다.

예제

유계가 아닌 거리를 유계 거리로 바꾸는 가장 일반적인 방법은 큰 거리값을 압축하는 변환을 적용하는 것이다.

대표적으로 다음과 같은 변환이 널리 사용된다.

$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$

이 변환의 동작 원리는 매우 간단하다.

\(d(x, y)\)가 작으면 새로운 거리 \(d'(x, y)\)도 원래 거리와 거의 같은 값을 유지한다.

예를 들어 \(d(x, y) = 1\)이면 다음과 같다.

$$ d'(x, y) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $$

반대로 \(d(x, y)\)가 매우 커질수록 새로운 거리 \(d'(x, y)\)는 \(1\)에 가까워진다.

따라서 원래 거리가 아무리 커도 변환 후에는 모든 거리가 항상 \(0\) 이상 \(1\) 미만의 범위에 들어가게 된다.

예를 들어 거리 공간 \((X, d)\)에서 거리가 \(d(x, y) = |x - y|\)인 표준 유클리드 거리를 생각해 보자.

이 거리는 \(x\)와 \(y\)가 얼마든지 멀어질 수 있으므로 유계가 아니다.

위의 변환을 적용하면 새로운 거리는 다음과 같이 정의된다.

$$ d'(x, y) = \frac{|x - y|}{1 + |x - y|} $$

\(x = 1\), \(y = 2\)이면 원래 거리는 \(1\)이고, 새로운 거리는 다음과 같다.

$$ d'(1, 2) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $$

\(x = 1\), \(y = 1000\)이면 원래 거리는 \(999\)이지만, 새로운 거리는 다음과 같다.

$$ d'(1, 1000) = \frac{999}{1 + 999} = 0.999 $$

이처럼 변환 후에는 모든 거리가 항상 \(0\) 이상 \(1\) 미만의 범위에 속한다.

그럼에도 불구하고 \(d\)와 \(d'\)가 정의하는 열린집합과 닫힌집합은 완전히 동일하다. 따라서 거리 함수는 달라졌지만 공간의 위상은 변하지 않는다.

이와 같은 아이디어는 다양한 거리 공간에서도 동일하게 적용된다.