거리위상의 기저
거리공간 \((X,d)\)에서 모든 열린구들의 집합족 $$ \mathcal{B}=\{B_d(x,\varepsilon)\mid x\in X,\ \varepsilon>0\} $$ 은 \(X\) 위의 위상을 생성하는 기저를 이룬다. 이렇게 생성되는 위상을 거리위상이라고 한다.
이 정리는 거리공간과 위상수학을 연결하는 가장 중요한 결과 가운데 하나이다. 거리공간의 모든 열린집합은 열린구들의 합집합으로 표현될 수 있으며, 따라서 열린구는 거리위상을 구성하는 가장 기본적인 요소가 된다.
기저란 위상의 모든 열린집합을 만들어 내는 기본 재료라고 생각하면 된다. 즉, 집합족 \(\mathcal{B}\)가 위상의 기저라면 모든 열린집합은 \(\mathcal{B}\)에 속하는 집합들의 합집합으로 나타낼 수 있다.
집합족이 기저가 되기 위해서는 다음 두 조건을 만족해야 한다.
- 덮개 조건. 모든 점 \(x\in X\)는 적어도 하나의 기저 원소에 포함되어야 한다.
- 교집합 조건. 어떤 점 \(x\)가 두 기저 원소의 교집합에 속하면, \(x\)를 포함하면서 그 교집합 안에 완전히 포함되는 또 다른 기저 원소가 존재해야 한다.
모든 열린구들의 집합족은 이 두 조건을 모두 만족한다. 따라서 열린구들은 거리위상을 생성하는 기저가 된다.
중심이 \(x\)이고 반지름이 \(\varepsilon>0\)인 열린구는 다음과 같이 정의된다. $$ B_d(x,\varepsilon)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon\}. $$ 즉, 중심 \(x\)로부터의 거리가 \(\varepsilon\)보다 작은 모든 점들의 집합이다.
기하학적으로 보면, 이 정리는 건물을 벽돌로 쌓듯이 모든 열린집합을 열린구들을 이용하여 구성할 수 있다는 사실을 의미한다.
예제
평면 \(\mathbb{R}^2\)의 다음 부분집합을 생각해 보자.
$$ A=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid 1<\sqrt{x_1^2+x_2^2}<2\}. $$
이 집합은 원점으로부터의 거리가 1보다 크고 2보다 작은 모든 점들로 이루어진다.
기하학적으로는 반지름이 1과 2인 두 동심원 사이의 영역, 즉 환형 영역(annulus)에 해당한다.
경계가 되는 두 원은 포함되지 않으므로 \(A\)는 열린집합이다.
이 환형 영역을 열린구들의 합집합으로 나타낼 수 있을까?
기저 정리에 따르면 답은 '그렇다'이다.
환형 영역 안의 임의의 점을 하나 선택한 뒤, 열린구 전체가 영역 밖으로 벗어나지 않도록 충분히 작은 반지름을 선택하면 된다.
예를 들어 점 \(p_1=(1.5,0)\)과 반지름 \(\varepsilon_1=0.3\)을 생각해 보자.
$$ B_d((1.5,0),0.3) = \{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 \mid d((1.5,0),(x_1,x_2))<0.3\}. $$
이 열린구는 환형 영역 안에 완전히 포함된다.
이번에는 점 \(p_2=(-1.5,0)\)과 반지름 \(\varepsilon_2=0.4\)를 선택해 보자.
$$ B_d((-1.5,0),0.4) = \{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 \mid d((-1.5,0),(x_1,x_2))<0.4\}. $$
이 열린구 역시 환형 영역 안에 완전히 포함된다.
이 과정을 계속 반복하면, 경계를 넘지 않도록 반지름을 충분히 작게 선택하면서 환형 영역 전체를 열린구들로 덮을 수 있다.
결국 이 열린구들을 모두 합치면 집합 \(A\) 전체를 얻는다.
이를 기호로 쓰면 다음과 같다.
$$ A=\bigcup_i B_d(x_i,\varepsilon_i). $$
여기서 각 중심 \(x_i\)는 환형 영역 안에 있으며, 각 반지름 \(\varepsilon_i\)는
$$ B_d(x_i,\varepsilon_i)\subseteq A $$
를 만족하도록 선택된다.
이 예제는 거리공간의 모든 열린집합이 열린구들의 합집합으로 표현될 수 있다는 일반적인 원리를 잘 보여 준다.
바로 이러한 이유로 열린구는 거리위상을 이루는 가장 기본적인 구성 요소로 간주된다.
증명
이제 거리공간 \((X,d)\)에서 모든 열린구들의 집합족이 실제로 \(X\) 위의 위상을 생성하는 기저임을 증명해 보자.
이를 위해 기저의 두 조건을 차례대로 확인하면 충분하다.
모든 점은 기저 원소에 속한다
\(x\in X\)를 임의로 잡자.
임의의 반지름 \(\varepsilon>0\)에 대해 열린구 \(B_d(x,\varepsilon)\)는 집합족 \(\mathcal{B}\)에 속한다.
또한
$$ d(x,x)=0<\varepsilon, $$
이므로 \(x\in B_d(x,\varepsilon)\)이다.
따라서 \(X\)의 모든 점은 적어도 하나의 열린구에 속하며, 덮개 조건이 성립한다.
교집합 조건
\(B_1\)과 \(B_2\)를 두 열린구라고 하고
$$ x\in B_1\cap B_2 $$
라고 가정하자.
목표는 중심이 \(x\)인 열린구 하나를 찾아 그것이 교집합 \(B_1\cap B_2\) 안에 완전히 포함됨을 보이는 것이다.
\(x\in B_1\)이므로 \(x\)를 중심으로 하는 충분히 작은 열린구는 \(B_1\) 안에 포함된다. 따라서 어떤 \(\delta_1>0\)가 존재하여
$$ B_d(x,\delta_1)\subseteq B_1 $$
이 성립한다.
같은 방식으로 \(x\in B_2\)이므로 어떤 \(\delta_2>0\)가 존재하여
$$ B_d(x,\delta_2)\subseteq B_2 $$
를 만족한다.
이제 두 반지름 가운데 더 작은 값을 선택하자.
$$ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. $$
그러면 \(B_d(x,\delta)\)의 모든 점은 \(B_1\)과 \(B_2\)에 모두 속하게 되므로
$$ B_d(x,\delta)\subseteq B_1\cap B_2 $$
가 성립한다.
따라서 교집합 조건도 만족한다.
결국 기저의 두 조건이 모두 성립하므로, 모든 열린구들의 집합족은 \(X\) 위의 위상을 생성하는 기저가 된다.
이 위상이 바로 거리 \(d\)에 의해 유도되는 거리위상이다.
