거리공간의 등거리 동형

두 거리공간 $(X, d_X)$와 $(Y, d_Y)$ 사이에 다음 두 조건을 만족하는 함수 $f : X \to Y$가 존재하면, 두 거리공간은 등거리 동형(isometric)이라고 한다.

전단사: $X$의 각 원소는 $Y$의 정확히 하나의 원소와 대응하며, $Y$의 모든 원소도 $X$의 정확히 하나의 원소에 대응한다.
거리 보존: 임의의 두 점 $x_1, x_2 \in X$에 대하여, 두 점 사이의 거리가 함수 $f$를 통해 옮겨진 후에도 변하지 않는다. 즉, $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$

이와 같은 함수 $f$를 등거리사상이라고 하며, 이러한 함수가 존재하는 두 거리공간은 서로 등거리 동형이라고 한다.

간단히 말해, 등거리 동형은 두 거리공간의 점 이름이나 표현 방식이 아니라 거리 구조 자체가 완전히 동일한지를 판단하는 개념이다. 모든 거리 관계가 그대로 유지된다면 두 공간은 서로 등거리 동형이다.

등거리 동형인 두 거리공간은 항상 같은 위상을 가진다. 즉, 열린집합의 구조가 완전히 일치한다.
그러나 같은 위상을 가진다고 해서 반드시 등거리 동형인 것은 아니다. 등거리 동형은 위상동형보다 더 강한 조건이다. 위상동형은 열린집합의 구조만 유지하면 되지만, 등거리 동형에서는 모든 거리값이 정확하게 보존되어야 한다.

예제

다음 두 거리공간을 살펴보자.

$X = \{a, b, c\}$이고, 거리 $d_X$는 다음과 같이 정의되어 있다. $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
$Y = \{p, q, r\}$이고, 거리 $d_Y$는 다음과 같이 정의되어 있다. $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$

이제 함수 $f : X \to Y$를 다음과 같이 정의한다.

$$ f(a)=p,\qquad f(b)=q,\qquad f(c)=r $$

이 함수가 거리를 보존하는지 확인해 보자.

모든 거리값이 정확히 일치하므로 $f$는 등거리사상이다. 따라서 거리공간 $X$와 $Y$는 서로 등거리 동형이다.

평면 $\mathbb{R}^2$에서는 택시 거리(맨해튼 거리) $d_T$와 유클리드 거리 $d$가 모두 같은 위상을 유도한다. 즉, 두 거리 모두 동일한 열린집합 구조를 정의한다.

하지만 두 거리공간이 등거리 동형인지는 별개의 문제이다.

택시 거리에서는 두 점 $(x_1,y_1)$과 $(x_2,y_2)$ 사이의 거리를 다음과 같이 정의한다.

$$ d_T((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = |x_1-x_2| + |y_1-y_2| $$

이 거리는 도시의 격자형 도로를 따라 이동하는 것처럼, 수평 방향과 수직 방향으로 이동한 거리를 합하여 계산한다.

반면 유클리드 거리는 두 점 사이의 직선거리를 이용하며 다음 공식으로 정의된다.

$$ d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} $$

예를 들어 두 점 $A=(1,1)$, $B=(2,2)$를 생각해 보자.

택시 거리와 유클리드 거리의 비교

택시 거리에서는

$$ d_T((2,2),(1,1)) = |2-1|+|2-1| = 2 $$

유클리드 거리에서는

$$ d((1,1),(2,2)) = \sqrt{(1-2)^2+(1-2)^2} = \sqrt2 \approx 1.41 $$

같은 두 점이라도 거리의 값이 서로 다르다는 사실을 확인할 수 있다. 그러나 이것만으로 두 거리공간이 등거리 동형이 아니라고 결론 내릴 수는 없다. 등거리사상은 반드시 각 점을 자기 자신으로 대응시키는 함수일 필요가 없기 때문이다.

등거리 동형이 존재하지 않음을 보이려면 거리 구조 전체를 비교해야 한다.

택시 거리공간 $(\mathbb{R}^2,d_T)$에서는 다음 네 점을 생각할 수 있다.

$$ (1,0), \quad (-1,0), \quad (0,1), \quad (0,-1) $$

이 네 점은 서로 다른 두 점을 아무렇게나 선택해도 항상 거리가 $2$이다.

즉,

$$ d_T(P,Q)=2 $$

가 모든 서로 다른 두 점 $P,Q$에 대해 성립한다.

만약 택시 거리공간과 유클리드 거리공간이 등거리 동형이라면, 유클리드 평면에도 서로의 거리가 모두 $2$인 네 점이 존재해야 한다.

그러나 유클리드 평면에서는 서로의 거리가 모두 같은 점은 최대 세 개까지만 존재할 수 있으며, 이는 정삼각형의 세 꼭짓점에 해당한다.

따라서 이러한 거리 구조는 유클리드 평면에서 재현될 수 없다. 즉, 택시 거리를 갖는 평면과 유클리드 거리를 갖는 평면은 등거리 동형이 아니다.

결론적으로 택시 거리와 유클리드 거리는 같은 위상을 유도하지만, 거리 구조 자체는 서로 다르다. 따라서 두 거리공간은 위상적으로는 동등하지만, 등거리 동형은 아니다.