거리공간에서의 연속성 판정 정리

거리공간에서의 연속성 판정 정리는 함수의 연속성을 다양한 관점에서 설명하는 중요한 결과이다. 이 정리는 열린집합을 이용한 위상적 정의와 엡실론-델타 정의가 서로 완전히 동치임을 보여 준다. 따라서 미적분학에서 익힌 연속성 개념이 거리공간이라는 보다 일반적인 수학적 구조에서도 그대로 성립한다는 사실을 확인할 수 있다.

직관적으로 말하면, 연속함수는 입력이 조금 변할 때 출력도 조금만 변하는 함수이다. 다시 말해, 함수값이 갑자기 크게 뛰거나 불연속적으로 변하지 않는다.

이 정의는 일반적으로 거리공간에서의 연속성의 엡실론-델타 정의라고 하며, 열린집합을 이용한 연속성의 정의와 완전히 동치이다.

이는 미적분학 I에서 배우는 연속성의 정의를 보다 일반적인 거리공간으로 확장한 것으로 이해할 수 있다.

참고: 미적분학 I에서 다루는 연속성은 \(\mathbb{R}\) 또는 \(\mathbb{R}^n\) 위의 함수를 대상으로 하는 특수한 경우이다. 예를 들어 함수 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)가 점 \(x\)에서 연속이라는 것은, 모든 \(\varepsilon>0\)에 대하여 적당한 \(\delta>0\)가 존재하여 \(|x-x'|<\delta\)이면 \(|f(x)-f(x')|<\varepsilon\)가 성립하는 것을 의미한다. 이 경우에는 표준 거리를 사용한다. $$ d_X(x,x') = |x-x'| $$ $$ d_Y(f(x),f(x')) = |f(x)-f(x')| $$ 거리공간에서의 정의는 \(\mathbb{R}\)뿐 아니라 임의의 거리공간 사이의 함수에도 적용된다. 그러나 핵심 아이디어는 변하지 않는다. 입력이 조금 변하면 출력도 조금만 변한다는 것이 바로 연속성의 본질이다.

예시

다음 두 거리공간을 생각하자.

• 정의역: \(X=\mathbb{R}\), 표준 거리 \(d_X(x,x')=|x-x'|\).
• 공역: \(Y=\mathbb{R}\), 표준 거리 \(d_Y(y,y')=|y-y'|\).

함수 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의한다.

$$ f(x)=2x $$

이 함수가 열린집합을 이용한 정의와 엡실론-델타 정의를 모두 만족함을 확인하여 두 정의가 실제로 서로 동치임을 살펴보자.

1] 열린집합을 이용한 연속성

표준 거리에서 유도되는 위상에서 집합 \(V \subseteq Y\)가 열린집합이라는 것은 모든 \(y\in V\)에 대하여 어떤 \(\varepsilon>0\)가 존재하여 열린공

$$ B_Y(y,\varepsilon)=\{\,y'\in Y \mid |y-y'|<\varepsilon\,\} $$

이 \(V\) 안에 포함된다는 뜻이다.

이제 열린집합 \(V\subseteq Y\)를 잡자. 그 역상은 다음과 같다.

$$ f^{-1}(V)=\{\,x\in X \mid f(x)\in V\,\} $$

\(f(x)=2x\)이므로

$$ f^{-1}(V)=\{\,x\in\mathbb{R}\mid 2x\in V\,\} $$

\(x\in f^{-1}(V)\)를 임의로 선택하면 \(2x\in V\)이다.

\(V\)가 열린집합이므로 어떤 \(\varepsilon>0\)가 존재하여

$$ B_Y(f(x),\varepsilon)\subseteq V $$

가 성립한다.

이제 \(\delta=\varepsilon/2\)로 두자.

만약 \(|x-x'|<\delta\)이면

$$ |f(x)-f(x')| =|2x-2x'| =2|x-x'| <2\delta =\varepsilon $$

가 된다.

따라서 \(f(x')\)는 \(B_Y(f(x),\varepsilon)\) 안에 있으므로 \(V\)에도 속한다.

즉,

$$ B_X(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V) $$

가 성립하므로 \(f^{-1}(V)\)는 열린집합이다.

결론적으로 \(Y\)의 모든 열린집합의 역상이 \(X\)에서 열린집합이므로 \(f(x)=2x\)는 열린집합의 정의에 따라 연속이다.

2] 엡실론-델타 정의를 이용한 연속성

이번에는 같은 함수를 엡실론-델타 정의로 직접 확인해 보자.

\(x\in X\)와 \(\varepsilon>0\)를 임의로 잡는다.

함수는

$$ f(x)=2x,\qquad f(x')=2x' $$

이므로

$$ |f(x)-f(x')| =|2x-2x'| =2|x-x'| $$

이다.

\(|f(x)-f(x')|<\varepsilon\)가 되도록

$$ \delta=\frac{\varepsilon}{2} $$

로 선택하면 된다.

실제로

$$ |x-x'|<\delta =\frac{\varepsilon}{2} $$

이면

$$ |f(x)-f(x')| =2|x-x'| < 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$

가 성립한다.

따라서 \(f(x)=2x\)는 엡실론-델타 정의에 의해서도 연속이다.

3] 결론

이 예시를 통해 다음 사실을 확인할 수 있다.

• \(f(x)=2x\)는 모든 열린집합의 역상을 열린집합으로 만든다.
• 동시에 엡실론-델타 조건도 만족한다.
• 따라서 열린집합을 이용한 정의와 엡실론-델타 정의는 서로 완전히 동치이다.

증명

\(X\)와 \(Y\)를 거리공간이라 하고 함수 \(f:X\to Y\)를 생각하자.

다음 두 가지 연속성의 정의가 서로 동치임을 보인다.

• 열린집합에 의한 정의: 모든 열린집합 \(U\subseteq Y\)에 대하여 역상 \(f^{-1}(U)\)가 \(X\)에서 열린집합이면 \(f\)는 연속이다.
• 근방에 의한 정의: 모든 \(x\in X\)와 \(f(x)\)를 포함하는 열린집합 \(U\subseteq Y\)에 대하여, \(x\)의 어떤 근방 \(V\)가 존재하여 \(f(V)\subseteq U\)가 성립한다.

1] 열린집합에 의한 정의 ⇒ 근방에 의한 정의

\(f\)가 열린집합의 정의에 따라 연속이라고 가정하자.

\(x\in X\)를 잡고 \(f(x)\in U\)를 만족하는 열린집합 \(U\subseteq Y\)를 선택한다.

그러면

$$ x\in f^{-1}(U) $$

이며, 가정에 따라 \(f^{-1}(U)\)는 열린집합이다.

따라서 어떤 근방 \(V\)가 존재하여

$$ V\subseteq f^{-1}(U) $$

가 성립한다.

즉,

$$ f(V)\subseteq U $$

가 되어 근방에 의한 정의가 성립한다.

2] 근방에 의한 정의 ⇒ 열린집합에 의한 정의

이번에는 모든 점에서 근방 조건이 성립한다고 가정하자.

열린집합 \(W\subseteq Y\)를 하나 잡고 \(x\in f^{-1}(W)\)를 선택한다.

그러면 \(f(x)\in W\)이다.

\(W\)가 열린집합이므로 어떤 근방 \(V\)가 존재하여

$$ f(V)\subseteq W $$

가 성립한다.

따라서

$$ V\subseteq f^{-1}(W) $$

가 된다.

즉, \(f^{-1}(W)\)의 모든 점은 그 안에 포함되는 근방을 가지므로 \(f^{-1}(W)\)는 열린집합이다.

결론적으로 열린집합을 이용한 연속성의 정의와 근방을 이용한 정의는 서로 동치이다.

거리공간에서는 이 결과를 바탕으로 엡실론-델타 정의 역시 완전히 같은 내용을 표현한다는 사실을 증명할 수 있다.