집합 사이의 거리

거리공간 $(X, d)$에서 두 집합 $A$와 $B$ 사이의 거리는 $A$의 점과 $B$의 점 사이에서 가능한 모든 거리들의 하한으로 정의된다. $$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A,\; b \in B \}, $$ 여기서 $d(a,b)$는 거리 함수 $d$에 의해 정의되는 두 점 $a$와 $b$ 사이의 거리이며, $\inf$는 이러한 거리들의 하한(infimum), 즉 가장 큰 하계값을 의미한다.

두 집합 사이의 거리를 구하려면 $A$의 점과 $B$의 점으로 이루어진 모든 가능한 쌍을 생각한 뒤, 그 거리들이 어디까지 작아질 수 있는지를 살펴보면 된다.

따라서 집합 사이의 거리는 항상 실제 최솟값이 존재하는 것은 아니며, 일반적으로는 가능한 거리들의 하한으로 정의된다.

참고: 집합 사이의 거리는 두 집합의 점들이 서로 얼마나 가까워질 수 있는지를 나타내는 개념이다. 따라서 거리가 작다고 해서 반드시 두 집합이 서로 맞닿아 있거나 같은 집합이라는 뜻은 아니다.

거리가 0인 경우
예제로 이해하기

거리가 0인 경우

$d(A, B)=0$이라는 것은 $A$와 $B$의 점들이 서로 임의로 가까워질 수 있다는 뜻이다. 그러나 이것이 두 집합이 실제로 만나거나 공통 원소를 가진다는 의미는 아니다.

따라서 두 집합이 서로소인 경우, 즉 $A \cap B = \emptyset$인 경우에도 집합 사이의 거리는 $0$이 될 수 있다.

예제로 이해하기

거리 함수가 $d=|x_1-x_2|$로 정의된 실직선 위의 거리공간에서 두 집합 $A$와 $B$를 생각해 보자.

다음 세 가지 경우를 비교하면 집합 사이의 거리 개념을 쉽게 이해할 수 있다.

A] 경우 1

$A=\{0\}$, $B=[1,2]$인 경우 두 집합 사이의 거리는 $1$이다.

$$ d(A, B)=\inf \{ d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}=d(0,1)=1 $$

$A$의 유일한 점인 $0$에서 $B$의 가장 가까운 점인 $1$까지의 거리가 정확히 $1$이기 때문이다.

집합 사이의 거리 예시

B] 경우 2

$A=[0,1]$, $B=[1,2]$인 경우 두 집합 사이의 거리는 $0$이다.

$$ d(A, B)=\inf \{ d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}=d(1,1)=0 $$

두 집합이 점 $1$을 공유하므로 거리도 $0$이 된다.

집합 사이의 거리 예시

이 경우 두 집합은 서로소가 아니다.

$$ A \cap B=\{1\} $$

C] 경우 3

$A=(0,1)$, $B=(1,2)$인 경우에도 두 집합 사이의 거리는 $0$이다.

$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}. $$

하지만 이번에는 두 집합 모두 열린구간이므로 점 $1$을 포함하지 않는다. 따라서 공통 원소가 없는 서로소 집합이다.

$$ A \cap B=\emptyset $$

그럼에도 거리가 $0$인 이유는 $A$의 점 $a$를 $1$에 한없이 가깝게 선택하고, 동시에 $B$의 점 $b$도 $1$에 한없이 가깝게 선택할 수 있기 때문이다.

집합 사이의 거리 예시

$A$의 점은 $1$에 임의로 가까워질 수 있지만, 열린구간이므로 실제로 $1$에 도달할 수는 없다.

$B$의 점 역시 같은 이유로 $1$에 임의로 가까워질 수는 있지만, $1$을 포함하지는 않는다.

따라서 두 집합 사이의 거리는 다음과 같이 계산된다.

$$ d(A,B)=\inf\{|a-b|\mid a\in A,\; b\in B\}=|1-1|=0 $$

즉, 두 집합은 서로 만나지 않고 공통 원소도 없지만, 각 집합의 점들은 서로 임의로 가까워질 수 있다.

이 때문에 두 집합 사이의 거리는 $0$이 된다.

참고: 두 집합 사이의 거리가 $0$이라고 해서 두 집합이 같은 집합이거나 서로 맞닿아 있다는 뜻은 아니다. 거리의 개념은 두 집합의 점들이 서로 얼마나 가까워질 수 있는지를 나타내며, 실제로 공통 원소가 존재하는지는 별개의 문제이다.

이와 같은 원리는 더 일반적인 거리공간에서도 동일하게 적용된다.