거리화 가능한 위상공간

거리화 가능한 공간(metrizable space)이란 위상공간 $ X $의 위상을 어떤 거리 $ d $가 정확하게 유도할 수 있는 위상공간을 말합니다.

공간 $ X $ 위의 거리 $ d $는 함수 $ d: X \times X \to [0, \infty) $로 정의되며, 비음수성, 대칭성, 삼각부등식, 그리고 $ d(x, y)=0 $일 필요충분조건이 $ x=y $라는 네 가지 기본 성질을 만족해야 합니다.

거리 $ d $가 유도하는 위상에서는 모든 열린집합이 열린볼(open ball)들의 임의의 합집합으로 표현됩니다. 여기서 열린볼은 다음과 같이 정의됩니다.

\[ B_r(x)=\{\,y\in X : d(x,y)

여기서 $ r>0 $은 열린볼의 반지름입니다.

즉, 거리 $ d $가 만들어 내는 열린볼들로부터 생성되는 위상이 원래의 위상과 완전히 일치한다면, 위상공간 $ X $는 거리화 가능한 공간입니다.

참고: 다시 말해, $ X $의 모든 열린집합은 거리 $ d $에 의해 정의되는 열린볼들의 임의의 합집합으로 표현할 수 있습니다.

대표적인 예로, 하우스도르프 공간이 아닌 위상공간은 어떤 거리로도 위상을 유도할 수 없습니다. 따라서 모든 위상공간이 거리화 가능한 것은 아닙니다.

예제

표준위상을 갖는 실수직선 $ \mathbb{R} $을 살펴보겠습니다.

표준위상에서는 모든 열린집합이 $ a,b\in\mathbb{R} $, $ a< b $인 열린구간 $ (a,b) $들의 임의의 합집합으로 표현됩니다.

이제 실수직선 위의 표준거리를 다음과 같이 정의합니다.

$$ d(x,y)=|x-y| $$

이는 두 점 $ x $와 $ y $ 사이의 절댓값 거리입니다.

이 거리에서 중심이 $ x $, 반지름이 $ r $인 열린볼은 다음과 같습니다.

$$ B_r(x)=\{\,y\in\mathbb{R}:d(x,y)

즉, 열린볼은 바로 열린구간이 됩니다.

표준위상의 모든 열린집합은 이러한 열린구간들의 합집합으로 나타낼 수 있으며, 열린구간은 모두 거리 $ d $가 생성하는 열린볼과 정확히 일치합니다. 따라서 표준위상을 갖는 실수직선 $ \mathbb{R} $은 거리화 가능한 공간입니다.

예제 2

이산위상을 갖는 임의의 집합 $ X $를 생각해 보겠습니다. $ X $는 유한집합일 수도 있고 무한집합일 수도 있습니다.

이산위상에서는 $ X $의 모든 부분집합이 열린집합입니다.

$ X $ 위에 다음과 같은 거리를 정의합니다.

$$ d(x,y)= \begin{cases} 0 & \text{if } x=y,\\ 1 & \text{if } x\neq y. \end{cases} $$

이 거리를 이산거리(discrete metric)라고 합니다.

이제 이 공간이 거리화 가능한지 확인해 보겠습니다.

이 거리에서 점 $ x $를 중심으로 하는 반지름 $ r $의 열린볼은 다음과 같습니다.

$ r\le1 $이면 $ B_r(x)=\{x\} $
설명: $ r\le1 $인 경우 \( d(x,y)
$ r>1 $이면 $ B_r(x)=X $
설명: $ r>1 $이면 $ d(x,y)=0 $과 $ d(x,y)=1 $이 모두 조건을 만족합니다. 따라서 집합 $ X $의 모든 점이 열린볼에 포함됩니다.

집합 $ \{x\} $와 $ X $는 모두 이산위상에서 열린집합입니다.

또한 이산위상의 모든 열린집합은 이러한 열린볼들의 합집합으로 표현할 수 있으므로, 이산위상을 갖는 집합 $ X $는 거리화 가능한 공간입니다.

이 예에서도 거리가 공간의 위상을 정확하게 결정한다는 사실을 확인할 수 있습니다.

거리화 가능한 공간과 관련하여 특히 알아두면 좋은 사실은 다음과 같습니다.

위상공간 $ X $가 거리화 가능하고 $ Y $가 $ X $와 위상동형이라면 $ Y $도 거리화 가능합니다.
거리화 가능성은 위상동형에 의해 보존되는 위상적 성질입니다. 따라서 $ X $가 거리화 가능하다면 $ X $와 위상동형인 모든 공간도 자동으로 거리화 가능합니다. 즉, $ Y $에 대해 새로운 거리를 직접 정의하지 않아도 거리화 가능하다는 사실을 바로 알 수 있습니다.
우뤼손의 거리화 정리
위상공간이 정칙공간(regular space)이며 가산기저(countable basis)를 가지면 그 공간은 거리화 가능합니다. 이 정리는 어떤 위상공간이 거리로 표현될 수 있는지를 판정하는 가장 중요한 기준 가운데 하나입니다.

이 밖에도 거리화 가능한 공간에 관한 다양한 정리와 중요한 성질이 존재합니다.