度量空间中的有界集

设 $(X, d)$ 为一个度量空间，其中 $d$ 表示点与点之间的距离。若存在某个常数 $\mu > 0$，使得对任意两点 $x, y \in A$，都有 $d(x, y) \leq \mu$，则称子集 $A \subseteq X$ 为有界集。

也就是说，只要集合 $A$ 中任意两点之间的距离始终不会超过某个固定值 $\mu$，这个集合就是有界的。

如果整个空间 $X$ 关于度量 $d$ 都是有界的，那么称 $d$ 为有界度量。

这意味着空间中任意两点之间的距离都存在一个统一的上界。

说明：如果度量 $d$ 是有界的，那么 $X$ 的任意子集也一定是有界的，因为子集中的任意两点之间的距离都不会超过整个空间中的最大距离。

一个具体例子

下面以欧几里得平面 $\mathbb{R}^2$ 为例进行说明，其中距离采用通常的欧几里得距离。

两点 $(x_1, y_1)$ 与 $(x_2, y_2)$ 之间的距离定义为：

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

设集合 $A$ 为以原点为圆心、半径为 $10$ 的闭圆盘：

$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$

若存在一个正数 $\mu$，使得集合中任意两点之间的距离都不超过 $\mu$，那么集合 $A$ 就是有界集。

对于这个闭圆盘来说，最大的两点距离出现在同一直径的两个端点，例如 $(10,0)$ 和 $(-10,0)$。

此时有：

$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-20)^2} = 20 $$

因此，集合 $A$ 中任意两点之间的最大距离为 $20$。

集合 A 中任意两点之间的最大距离

换句话说，无论在这个闭圆盘中选择哪两个点，它们之间的距离都不会超过 $20$。

因此，集合 $A$ 是有界集，并且可以取 $\mu = 20$。这里的最大距离正好等于圆盘的直径。

需要注意的是，一个度量是否有界，并不会影响它所诱导的拓扑结构。也就是说，它不会改变空间中哪些集合是开集，哪些集合是闭集。

什么是拓扑？ 拓扑关注的是空间中开集与闭集之间的关系，而不是距离的具体数值。因此，只要空间的邻域结构保持不变，拓扑就不会发生变化。

因此，即使一个度量是无界的，也总可以构造一个与它等价的有界度量，并且二者诱导出的拓扑完全相同。

也就是说，度量是否有界，不会影响空间中开集和闭集的定义。

例子

将无界度量转换为有界度量的一种常见方法，是利用一个函数对较大的距离进行压缩，同时保持拓扑结构不变。

例如，可以使用下面的变换：

$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$

这个变换具有以下特点：

例如，当 $d(x, y)=1$ 时：

$$ d'(x, y) = \frac{1}{1+1}=0.5 $$

因此，无论原来的距离有多大，经过变换后，新距离始终满足：

$$ 0 \le d'(x,y) < 1 $$

下面来看一个具体例子。

设度量空间 $(X,d)$ 的距离定义为：

$$ d(x,y)=|x-y| $$

这是实数空间上的标准欧几里得度量，它显然是无界的，因为两点之间的距离可以无限增大。

经过上述变换后，得到新的度量：

$$ d'(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|} $$

如果 $x=1$、$y=2$，则：

$$ d'(1,2)=\frac{1}{1+1}=0.5 $$

如果 $x=1$、$y=1000$，则：

$$ d'(1,1000)=\frac{999}{1+999}=0.999 $$

可以看到，即使原来的距离非常大，经过变换后仍然始终小于 $1$。

虽然距离发生了变化，但空间的拓扑结构完全保持不变，因为度量 $d$ 和 $d'$ 诱导出的开集与闭集完全一致。

其他无界度量也可以采用类似的方法进行处理。