度量空间中的连续性

连续性是分析学和拓扑学中的基本概念。在度量空间中，它可以用 ε-δ 条件来精确定义。这一定义不仅适用于实数函数，而且适用于任意两个度量空间之间的映射，是微积分中连续性概念的自然推广。

直观地说，连续函数不会发生突然的"跳跃"：定义域中的点彼此足够接近，它们对应的函数值也同样足够接近。

这种描述通常称为度量空间中连续性的 ε-δ 定义，也是连续性最经典、最常用的刻画方式之一。

如果你已经学习过微积分，那么会发现它与实函数连续性的定义完全一致，只不过这里将实数空间推广到了任意度量空间。

说明：微积分中通常研究的是 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{R}^n\) 上的函数，它们只是度量空间连续性的特殊情形。例如，函数 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) 在点 \(x\) 连续，是指对于任意 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(\delta>0\)，使得只要 \(|x-x'|<\delta\)，就有 \(|f(x)-f(x')|<\varepsilon\)。这里采用的是通常距离： $$ d_X(x,x')=|x-x'| $$ $$ d_Y(f(x),f(x'))=|f(x)-f(x')| $$ 在一般的度量空间中，只需将绝对值替换为相应的度量即可。因此，连续性的本质始终没有改变：输入的微小变化只会引起输出的微小变化。

例子

下面通过一个最简单的例子说明这一概念。

考虑两个度量空间：

• 定义域：\(X=\mathbb{R}\)，采用通常度量 \(d_X(x,x')=|x-x'|\)。
• 陪域：\(Y=\mathbb{R}\)，采用通常度量 \(d_Y(y,y')=|y-y'|\)。

定义函数

$$ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\qquad f(x)=2x $$

下面分别利用开集定义和 ε-δ 定义证明该函数是连续的，从而说明这两种定义是等价的。

1] 利用开集定义证明连续性

在通常度量诱导的拓扑中，集合 \(V\subseteq Y\) 是开集，当且仅当对任意 \(y\in V\)，都存在 \(\varepsilon>0\)，使得开球

$$ B_Y(y,\varepsilon)=\{y'\in Y\mid |y-y'|<\varepsilon\} $$

完全包含于集合 \(V\) 中。

设 \(V\subseteq Y\) 是一个开集，则它在函数 \(f\) 下的原像为

$$ f^{-1}(V)=\{x\in X\mid f(x)\in V\} $$

由于

$$ f(x)=2x $$

因此

$$ f^{-1}(V)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2x\in V\} $$

任取一点 \(x\in f^{-1}(V)\)，则有 \(2x\in V\)。因为 \(V\) 是开集，所以存在 \(\varepsilon>0\)，满足

$$ B_Y(2x,\varepsilon)\subseteq V $$

令

$$ \delta=\frac{\varepsilon}{2} $$

若 \(|x'-x|<\delta\)，则

$$ |f(x')-f(x)|=|2x'-2x|=2|x'-x|<2\delta=\varepsilon $$

于是 \(f(x')\in V\)，即 \(x'\in f^{-1}(V)\)。因此

$$ B_X(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V) $$

这说明原像中的每一点都是内点，因此 \(f^{-1}(V)\) 是开集。于是，根据开集定义，函数 \(f(x)=2x\) 连续。

2] 利用 ε-δ 定义证明连续性

任取 \(x\in X\) 和 \(\varepsilon>0\)。需要找到 \(\delta>0\)，使得只要

$$ |x-x'|<\delta $$

就有

$$ |f(x)-f(x')|<\varepsilon $$

由于

$$ f(x)=2x,\qquad f(x')=2x' $$

因此

$$ |f(x)-f(x')|=|2x-2x'|=2|x-x'| $$

只需取

$$ \delta=\frac{\varepsilon}{2} $$

便有

$$ |x-x'|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(x')|<\varepsilon $$

因此，函数 \(f(x)=2x\) 满足 ε-δ 定义，所以它是连续函数。

3] 小结

这个例子说明了以下几点：

• 函数 \(f(x)=2x\) 的连续性可以通过"开集的原像仍然是开集"来描述。
• 同样也可以通过 ε-δ 条件来描述。
• 在度量空间中，这两种定义完全等价，只是从不同角度刻画了同一个数学概念。

证明

下面证明度量空间之间映射 \(f:X\to Y\) 的两种连续性定义彼此等价，其中 \(X\) 和 \(Y\) 都是度量空间。

• 开集定义：若对任意开集 \(U\subseteq Y\)，原像 \(f^{-1}(U)\) 都是 \(X\) 中的开集，则 \(f\) 连续。
• 邻域定义：若对任意 \(x\in X\) 和任意包含 \(f(x)\) 的开集 \(U\subseteq Y\)，都存在 \(x\) 的一个邻域 \(V\)，使得 \(f(V)\subseteq U\)，则 \(f\) 连续。

1] 证明开集定义推出邻域定义

设 \(f\) 满足开集定义。

任取 \(x\in X\)，并设 \(U\subseteq Y\) 是包含 \(f(x)\) 的一个开集。

由于 \(f(x)\in U\)，因此

$$ x\in f^{-1}(U) $$

而根据假设，\(f^{-1}(U)\) 是开集，所以它本身就是点 \(x\) 的一个邻域。

令

$$ V=f^{-1}(U) $$

则立即得到

$$ f(V)\subseteq U $$

因此，邻域定义成立。

2] 证明邻域定义推出开集定义

反过来，设 \(f\) 满足邻域定义。

任取开集 \(W\subseteq Y\)，下面证明其原像 \(f^{-1}(W)\) 是 \(X\) 中的开集。

任取一点 \(x\in f^{-1}(W)\)，则

$$ f(x)\in W $$

由于 \(W\) 是包含 \(f(x)\) 的开集，根据邻域定义，存在点 \(x\) 的一个邻域 \(V\)，使得

$$ f(V)\subseteq W $$

于是对任意 \(z\in V\)，都有 \(f(z)\in W\)，即

$$ V\subseteq f^{-1}(W) $$

因此，\(f^{-1}(W)\) 的每一点都是内点，所以 \(f^{-1}(W)\) 是开集。

由此可知，映射 \(f:X\to Y\) 满足开集定义，当且仅当满足邻域定义。

进一步地，在度量空间中，邻域定义与 ε-δ 定义也是等价的。因此，开集定义、邻域定义和 ε-δ 定义共同构成了度量空间中连续性的三种等价刻画。