可度量拓扑空间

设 $ X $ 是一个拓扑空间。如果存在 $ X $ 上的某个度量 $ d $，并且由该度量诱导出的拓扑与 $ X $ 原有的拓扑完全一致，那么称 $ X $ 为可度量空间。

换句话说，一个拓扑空间如果能够用某种"距离"来描述其拓扑结构，它就是可度量的。

这里的度量 $ d $ 是定义在 $ X $ 上的一个函数 $ d: X \times X \to [0, \infty) $，它满足四条基本公理：非负性、对称性、三角不等式，以及正定性，即 $ d(x, y) = 0 $ 当且仅当 $ x = y $。

给定度量 $ d $ 后，就可以定义开球。以点 $ x $ 为中心、半径为 $ r>0 $ 的开球定义为

$$ B_r(x)=\{\,y\in X:d(x,y)

由这些开球生成的所有开集构成了度量 $ d $ 所诱导的拓扑。

因此，一个拓扑空间是否可度量，关键就在于能否找到一个度量，使由开球生成的拓扑与原有拓扑完全一致。

说明：这意味着，空间中的每一个开集都可以表示为若干开球的任意并。

需要注意的是，并非所有拓扑空间都是可度量的。例如，任何可度量空间都必定是豪斯多夫空间，因此非豪斯多夫空间一定不是可度量空间。

实例

首先来看最经典的例子：带有标准拓扑的实数集 $ \mathbb{R} $。

在标准拓扑中，每个开集都可以表示为若干开区间 $ (a,b) $ 的并，其中 $ a,b\in\mathbb{R} $，且 $ a< b $。

在 $ \mathbb{R} $ 上定义通常使用的欧氏度量：

$$ d(x,y)=|x-y| $$

它表示实数轴上两点之间的距离。

此时，以 $ x $ 为中心、半径为 $ r $ 的开球为：

$$ B_r(x)=\{\,y\in\mathbb{R}:d(x,y)

也就是说，在实数集上，每一个开球正好对应一个开区间。

由于标准拓扑中的所有开集都可以表示为开区间的并，而这些开区间又正是欧氏度量生成的开球，因此，实数集 $ \mathbb{R} $ 的标准拓扑是可度量的。

示例 2

再来看另一个典型例子。设 $ X $ 是任意集合（无论有限还是无限），并赋予它离散拓扑。

在离散拓扑中，$ X $ 的每一个子集都是开集。

定义如下度量：

$$ d(x,y)=
\begin{cases}
0 & \text{当 } x=y,\\
1 & \text{当 } x\neq y.
\end{cases}
$$

这个度量称为离散度量。

下面验证它确实能够生成离散拓扑。

对于任意点 $ x $，开球有两种情况：

单点集 $ \{x\} $ 和全集 $ X $ 都是离散拓扑中的开集。

另一方面，任何子集都可以写成若干单点集的并，而每个单点集本身又是一个开球。因此，离散度量所诱导出的拓扑与离散拓扑完全一致。

由此可见，任何带有离散拓扑的集合都是可度量空间。

下面介绍几个关于可度量空间的重要结论。

若拓扑空间 $ X $ 是可度量的，而 $ Y $ 与 $ X $ 同胚，则 $ Y $ 也是可度量的。
可度量性是一种拓扑性质，因此在同胚映射下保持不变。换句话说，只要两个拓扑空间同胚，它们要么都可度量，要么都不可度量。因此，当已知 $ Y $ 与某个可度量空间 $ X $ 同胚时，无需重新构造度量，就可以直接判断 $ Y $ 也是可度量空间。
乌雷松度量化定理
如果一个拓扑空间是正则空间，并且具有可数基，那么它一定是可度量的。这一定理是一般拓扑学中最重要的度量化定理之一，也是判断空间是否可度量的重要工具。

除此之外，还有许多著名的度量化定理，它们分别适用于不同类型的拓扑空间，为研究空间的可度量性提供了丰富的理论工具。