集合之间的距离

在度量空间 \((X,d)\) 中，集合 \(A\) 与集合 \(B\) 之间的距离，是指集合 \(A\) 中任意一点与集合 \(B\) 中任意一点之间所有可能距离的下确界，即：$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}. $$ 其中，\(d(a,b)\) 表示在度量 \(d\) 下点 \(a\) 与点 \(b\) 之间的距离；\(\inf\) 表示下确界，也就是所有这些距离能够达到的最大下界。

计算两个集合之间的距离时，需要考察所有可能的点对：一个点来自集合 \(A\)，另一个点来自集合 \(B\)。计算每一对点之间的距离后，再求这些距离的下确界。

需要注意的是，集合之间的距离未必由某一对点真正取得，它描述的是两集合中的点能够彼此接近到什么程度。

说明：集合之间的距离反映的是两个集合之间的"最近程度"，并不意味着它们一定相交、相切或完全重合。

距离为零意味着什么？

若 \(d(A,B)=0\)，说明集合 \(A\) 与集合 \(B\) 中的点可以无限接近。

不过，这并不意味着两个集合一定存在公共点。因此，即使两个集合互不相交，即 \(A\cap B=\emptyset\)，它们之间的距离仍然可能等于 \(0\)。

实例分析

下面以数轴为例进行说明。设数轴上的距离定义为：

$$ d=|x_1-x_2| $$

下面讨论三种典型情况。

A] 情况一

设

$$ A=\{0\},\qquad B=[1,2]. $$

此时两个集合之间的距离为：

$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}=d(0,1)=1. $$

因为集合 \(A\) 中只有点 \(0\)，而它距离集合 \(B\) 中最近的点 \(1\) 正好为 \(1\)。

B] 情况二

设

$$ A=[0,1],\qquad B=[1,2]. $$

则

$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}=d(1,1)=0. $$

由于两个集合都包含点 \(1\)，因此它们在该点相交，两集合之间的距离自然为 \(0\)。

它们的交集为：

$$ A\cap B=\{1\}. $$

C] 情况三

设

$$ A=(0,1),\qquad B=(1,2). $$

则

$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}=0. $$

虽然两个集合都是开区间，点 \(1\) 不属于任何一个集合，因此它们互不相交：

$$ A\cap B=\emptyset. $$

但是，集合 \(A\) 中的点可以无限接近 \(1\)，集合 \(B\) 中的点也可以无限接近 \(1\)。

也就是说，虽然没有任何一对点真正重合，但两点之间的距离可以无限趋近于零。

例如，点 \(a\) 可以不断逼近 \(1\)，但永远不会等于 \(1\)；点 \(b\) 同样可以不断逼近 \(1\)，却始终无法取到该点。

因此：

$$ d(A,B)=\inf\{|a-b|\mid a\in A,\ b\in B\}=0. $$

由此可以看出，即使两个集合没有任何公共点，只要它们中的点能够无限接近，集合之间的距离仍然可以等于 \(0\)。

说明：距离为 \(0\) 并不意味着两个集合相同，也不意味着它们一定相交。集合之间的距离关注的是点之间能够接近到什么程度，而不是两个集合是否真正接触。

其他情形也可以采用相同的方法进行分析。