每个度量空间都是豪斯多夫空间

每个度量空间都是豪斯多夫空间。换句话说，如果一个拓扑空间不是豪斯多夫空间，那么它一定不能由任何度量诱导得到。

豪斯多夫空间是拓扑学中最基本的分离公理之一。它要求：对于任意两个不同的点，都能找到两个互不相交的开邻域，分别包含这两个点。

从直观上理解，在度量空间中，由于点与点之间的距离是确定的，因此总可以围绕这两个点分别取足够小的开球，使它们彼此没有交集。这正是所有度量空间都具有豪斯多夫性质的原因。

说明。豪斯多夫性质必须对空间中的任意一对不同点成立，而不仅仅是某几对点。

一个具体例子

考虑带有标准欧几里得距离的平面 \(\mathbb{R}^2\)。设平面上的两点分别为 \(x=(x_1,x_2)\) 和 \(y=(y_1,y_2)\)，它们之间的距离定义为：

$$ d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}. $$

因此，配备欧几里得距离的 \(\mathbb{R}^2\) 是一个典型的度量空间。

下面说明为什么它满足豪斯多夫性质。

设 \(A=(x_1,y_1)\) 和 \(B=(x_2,y_2)\) 是平面中的两个不同点，因此

$$ d(A,B)>0. $$

取半径

$$ r=\frac{d(A,B)}{2}. $$

分别以 \(A\) 和 \(B\) 为中心构造两个开球：

• \(U=\{P\in\mathbb{R}^2:d(P,A)
• \(V=\{P\in\mathbb{R}^2:d(P,B)

由于半径只有两点间距离的一半，这两个开球不会重叠，因此

$$ U\cap V=\varnothing. $$

也就是说，我们已经找到了两个互不相交的开集，分别包含点 \(A\) 和点 \(B\)。

由于这一构造适用于 \(\mathbb{R}^2\) 中任意两个不同的点，因此欧几里得平面满足豪斯多夫性质。

所以，\(\mathbb{R}^2\) 是一个豪斯多夫空间。

反例

下面来看一个不是豪斯多夫空间的例子。

考虑实数集 \(\mathbb{R}\)，并赋予它余有限拓扑。

在余有限拓扑中，一个集合 \(U\subseteq\mathbb{R}\) 是开集，当且仅当满足下面两个条件之一：

• \(U=\varnothing\)；
• \(\mathbb{R}\setminus U\) 是有限集。

换句话说，每个非空开集都必须包含除有限多个点之外的所有实数。

现在取两个不同的点 \(x,y\in\mathbb{R}\)。

如果该空间是豪斯多夫空间，那么应该能够找到两个互不相交的开集 \(U\) 和 \(V\)，分别包含 \(x\) 和 \(y\)。

然而，设 \(U\) 和 \(V\) 都是非空开集，则根据定义：

• \(\mathbb{R}\setminus U\) 是有限集；
• \(\mathbb{R}\setminus V\) 也是有限集。

于是

$$ \mathbb{R}\setminus(U\cap V) = (\mathbb{R}\setminus U)\cup(\mathbb{R}\setminus V). $$

右侧仍然是有限集，因此 \(U\cap V\) 的补集是有限集，从而

$$ U\cap V\neq\varnothing. $$

这说明任意两个非空开集都必然相交，因此不可能找到两个互不相交的开邻域来分离两个不同的点。

由此可见，拓扑空间 \((\mathbb{R},\text{余有限拓扑})\) 不是豪斯多夫空间。

既然所有度量空间都必须满足豪斯多夫性质，那么余有限拓扑就不可能来自任何度量。

证明

设 \((X,d)\) 是一个度量空间，任取两个不同的点 \(x\) 和 \(y\)。

由于 \(x\neq y\)，根据度量的定义有

$$ d(x,y)>0. $$

记

$$ \varepsilon=d(x,y). $$

分别构造两个开球：

• \(U=B(x,\varepsilon/2)\)；
• \(V=B(y,\varepsilon/2)\)。

显然，\(U\) 和 \(V\) 分别是点 \(x\) 和点 \(y\) 的开邻域。

下面证明它们互不相交。

假设存在一点 \(z\)，同时属于 \(U\) 和 \(V\)。那么有

• \(d(x,z)<\varepsilon/2\)；
• \(d(y,z)<\varepsilon/2\)。

根据三角不等式，得到

$$ d(x,y) \le d(x,z)+d(z,y) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. $$

这与

$$ d(x,y)=\varepsilon $$

相矛盾。

因此，不存在同时属于 \(U\) 和 \(V\) 的点，即

$$ U\cap V=\varnothing. $$

于是，对于任意两个不同的点，都可以找到两个互不相交的开邻域将它们分离。

因此，每个度量空间都是豪斯多夫空间。