度量空间的等距同构

设 $X$ 和 $Y$ 是两个度量空间。如果存在一个映射 $f : X \to Y$，满足以下两个条件，那么称这两个度量空间等距同构：

双射：$X$ 中每个元素都唯一对应 $Y$ 中的一个元素，反之亦然。
保持距离：对于任意两点 $x_1, x_2 \in X$，它们在 $X$ 中的距离与对应像 $f(x_1)$、$f(x_2)$ 在 $Y$ 中的距离完全相同，即： $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$

如果存在这样的映射，就称 $X$ 与 $Y$ 等距，而映射 $f$ 称为一个等距同构。

简单来说，等距同构用于判断两个度量空间是否具有完全相同的距离结构。虽然空间中的点可以用不同的名称表示，但只要所有点之间的距离都一一对应，这两个空间在度量意义下就是相同的。

两个等距的度量空间一定具有相同的拓扑，因此它们拥有完全相同的开集结构。
但是，具有相同拓扑的两个空间并不一定等距。原因在于，等距同构比拓扑等价要求更加严格：拓扑等价只要求保留开集结构，而等距同构要求每一对点之间的距离都保持不变。

实例一

考虑下面两个度量空间：

$X = \{a, b, c\}$，其度量 $d_X$ 定义为： $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
$Y = \{p, q, r\}$，其度量 $d_Y$ 定义为： $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$

定义映射：

$$ f(a) = p, \quad f(b) = q, \quad f(c) = r $$

验证距离是否保持：

可以看到，所有对应点之间的距离都完全一致，因此映射 $f$ 是一个等距同构。这说明度量空间 $X$ 与 $Y$ 是等距的。

在平面上，出租车度量（$d_T$）和标准欧氏度量（$d$）会诱导出相同的拓扑，也就是说，它们具有相同的开集结构。

那么，它们是否也是等距的呢？

出租车度量定义为：

$$ d_T((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$

这种距离可以理解为出租车只能沿着水平和竖直方向行驶时所经过的总路程。

标准欧氏度量则采用两点之间的直线距离：

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$

假设存在一个映射 $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，能够在这两个度量空间之间保持所有距离。下面考察两点：

$A=(1,1)$，$B=(2,2)$。

度量空间等距同构示意图

在出租车度量下：

$$ d_T((2,2),(1,1)) = |2-1| + |2-1| = 2 $$

在标准欧氏度量下：

$$ d((1,1),(2,2)) = \sqrt{(1-2)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 $$

由于同一对点在两种度量下得到的距离不同，因此不存在能够保持所有距离的等距同构。

因此，带出租车度量的平面与带标准欧氏度量的平面并不等距。

这个例子说明了一个重要结论：两个度量空间可以拥有相同的拓扑，却未必等距同构。换句话说，它们可能具有相同的开集结构，但具体的距离关系仍然不同。

其他度量空间也可以采用相同的方法判断是否等距同构。