Теорема об ограниченной метрике
В любом метрическом пространстве \( (X, d) \) можно построить новую ограниченную метрику \( d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) \), которая индуцирует ту же самую топологию, что и исходная метрика \( d \). Иными словами, открытые множества, определяемые обеими метриками, полностью совпадают.
Новая метрика определяется очень просто:
$$ d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) $$
Если расстояние между двумя точками не превышает 1, новая метрика совпадает с исходной. Если же расстояние больше 1, оно заменяется единицей. Поэтому значения метрики \( d' \) никогда не превышают 1.
Несмотря на это ограничение, топология пространства не меняется. Метрики \( d \) и \( d' \) определяют одну и ту же систему открытых множеств.
Это означает, что все топологические свойства пространства сохраняются, хотя сама функция расстояния становится ограниченной.
Примечание: Вместо числа \(1\) можно использовать любое положительное число \(\varepsilon > 0\): $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $$ В этом случае все расстояния будут ограничены сверху числом \(\varepsilon\), однако индуцированная топология останется прежней. Для простоты далее рассматривается случай \( \varepsilon = 1 \).
Практический пример
Рассмотрим пространство \( \mathbb{R} \) со стандартной метрикой
$$ d(x, y) = |x - y| $$
и определим новую метрику
$$ d'(x, y) = \min(|x - y|, 1). $$
Теперь любое расстояние, превышающее 1, заменяется единицей.
Например, если \( x = 2 \) и \( y = 5 \), то исходное расстояние равно \( d(2,5)=|2-5|=3 \). В новой метрике получаем \( d'(2,5)=\min(3,1)=1 \). Если же \( x=2 \) и \( y=2.5 \), то \( d'(2,2.5)=\min(|2-2.5|,1)=0.5 \), поскольку \( |2-2.5|<1 \). В этом случае обе метрики дают одинаковый результат: \( d=d'=0.5 \). $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$
Таким образом, метрика \( d' \) «обрезает» только большие расстояния. При этом локальная геометрия пространства не изменяется, а значит, не изменяется и его топология.
Почему топология остается прежней?
Топология метрического пространства определяется открытыми шарами.
Если радиус шара не превышает 1, то открытые шары для метрик \( d \) и \( d' \) полностью совпадают:
$$ B_d(x,r)=B_{d'}(x,r), \qquad r\leq1. $$
Именно это обеспечивает сохранение всех локальных свойств пространства. А поскольку топология зависит только от локальной структуры окрестностей, ограничение больших расстояний никак на нее не влияет.
Рассмотрим конкретный пример. Возьмем открытый шар \( B_d(3,2) \) с центром в точке 3 и радиусом 2.
По определению
$$ B_d(x,r)=\{y\in\mathbb{R}\mid d(x,y)
В нашем случае
$$ B_d(3,2)=\{y\in\mathbb{R}\mid d(3,y)<2\}. $$
Так как стандартная метрика имеет вид \( d(x,y)=|x-y| \), получаем
$$ |3-y|<2. $$
Преобразуем это неравенство:
$$ -2<3-y<2 $$
$$ -5<-y<-1 $$
$$ 1
Следовательно,
$$ B_d(3,2)=(1,5). $$
Это открытый интервал, состоящий из всех точек, удаленных от числа 3 менее чем на две единицы.
На рисунке ниже показан этот интервал на числовой прямой.
Теперь покроем тот же интервал открытыми шарами метрики \( d' \). Например, можно взять объединение
$$ B_{d'}(2,1)\cup B_{d'}(3,1)\cup B_{d'}(4,1). $$
Первый шар покрывает интервал \( (1,3) \), второй покрывает \( (2,4) \), а третий покрывает \( (3,5) \). Их объединение совпадает с интервалом \( (1,5) \).
Этот пример показывает, что любое открытое множество, определяемое исходной метрикой, можно получить и с помощью новой ограниченной метрики. Поэтому обе метрики индуцируют одну и ту же топологию.
Доказательство
Сначала убедимся, что функция \( d' \) действительно является метрикой.
Неотрицательность, симметрия и условие
$$ d'(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y $$
непосредственно следуют из соответствующих свойств исходной метрики \( d \).
Остается проверить неравенство треугольника:
$$ d'(x,z)\le d'(x,y)+d'(y,z). $$
Обозначим
$$ a=d(x,y),\qquad b=d(y,z). $$
Так как \( d \) является метрикой, выполняется
$$ d(x,z)\le a+b. $$
Следовательно,
$$ d'(x,z)=\min(d(x,z),1)\le\min(a+b,1). $$
Кроме того, для любых неотрицательных чисел \( a \) и \( b \) справедливо неравенство
$$ \min(a+b,1)\le\min(a,1)+\min(b,1). $$
Отсюда получаем
$$ d'(x,z)\le\min(a,1)+\min(b,1)=d'(x,y)+d'(y,z). $$
Следовательно, функция \( d' \) удовлетворяет неравенству треугольника и является корректной метрикой.
Теперь покажем, что метрики \( d \) и \( d' \) индуцируют одну и ту же топологию.
Обозначим через \( T \) топологию, индуцированную метрикой \( d \), а через \( T' \) топологию, индуцированную метрикой \( d' \).
Достаточно доказать два включения:
- \( T\subseteq T' \);
- \( T'\subseteq T \).
A] Докажем, что \( T\subseteq T' \)
Пусть множество \( U \) открыто в топологии \( T \). Тогда для каждой точки \( x\in U \) существует радиус \( r>0 \), такой что
$$ B_d(x,r)\subseteq U. $$
Положим
$$ \rho=\min(r,1). $$
Поскольку \( \rho\le1 \), имеем
$$ B_{d'}(x,\rho)=B_d(x,\rho). $$
Следовательно,
$$ B_{d'}(x,\rho)\subseteq B_d(x,r)\subseteq U. $$
Значит, множество \( U \) открыто и в топологии \( T' \).
B] Докажем, что \( T'\subseteq T \)
Пусть теперь множество \( U \) открыто в топологии \( T' \). Тогда для каждой точки \( x\in U \) существует радиус \( r>0 \), такой что
$$ B_{d'}(x,r)\subseteq U. $$
Снова положим
$$ \rho=\min(r,1). $$
Тогда
$$ B_d(x,\rho)=B_{d'}(x,\rho)\subseteq B_{d'}(x,r)\subseteq U. $$
Следовательно, множество \( U \) открыто и в топологии \( T \).
Заключение
Мы доказали оба включения:
$$ T\subseteq T' \qquad\text{и}\qquad T'\subseteq T. $$
Следовательно,
$$ T=T'. $$
Таким образом, ограниченная метрика \( d'(x,y)=\min(d(x,y),1) \) индуцирует ту же самую топологию, что и исходная метрика \( d \).
