Критерий сравнения топологий, порождённых метриками

Пусть $d$ и $d'$ являются двумя метриками на множестве $X$, а $\mathcal{T}$ и $\mathcal{T}'$ обозначают топологии, порождённые соответственно метриками $d$ и $d'$. Топология $\mathcal{T}'$ тоньше топологии $\mathcal{T}$ тогда и только тогда, когда для любой точки $x \in X$ и любого числа $\varepsilon > 0$ существует число $\delta > 0$, такое что $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$ Здесь $B_d(x,\varepsilon)$ и $B_{d'}(x,\delta)$ обозначают открытые шары с центром в точке $x$ и радиусами $\varepsilon$ и $\delta$ соответственно в метриках $d$ и $d'$.

Иными словами, на одном и том же множестве $X$ можно задать разные способы измерения расстояния. Каждая метрика определяет, какие множества считать открытыми, а значит, порождает свою топологию.

Топология $\mathcal{T}$, порождённая метрикой $d$
Топология $\mathcal{T}'$, порождённая метрикой $d'$

Смысл критерия прост: топология $\mathcal{T}'$ тоньше топологии $\mathcal{T}$, то есть содержит все открытые множества из $\mathcal{T}$, тогда и только тогда, когда в любой $d$-шар с центром в точке $x$ можно вложить некоторый $d'$-шар с тем же центром.

Такое условие удобно тем, что позволяет сравнивать топологии не через все открытые множества сразу, а через открытые шары, то есть через базовые окрестности, задаваемые соответствующими метриками.

Практический пример
Доказательство

Практический пример

Рассмотрим множество $X=\mathbb{R}^2$, то есть декартову плоскость. Зададим на нём две разные метрики.

Евклидова метрика: $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. В этой метрике открытые шары имеют привычный геометрический вид: это круги без границы. $$ B_d((x,y),\varepsilon)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{(u-x)^2+(v-y)^2}<\varepsilon\}. $$
Дискретная метрика: $d'((x_1,y_1),(x_2,y_2))= \begin{cases} 0,&\text{если }(x_1,y_1)=(x_2,y_2),\\ 1,&\text{если }(x_1,y_1)\neq(x_2,y_2). \end{cases}$ В дискретной метрике открытые шары устроены иначе: \[ B_{d'}((x,y),\delta)= \begin{cases} \{(x,y)\},&\text{если }\delta\le1,\\ X,&\text{если }\delta>1. \end{cases} \]

Покажем, что дискретная топология тоньше евклидовой.

Для этого воспользуемся критерием:

$$ \mathcal{T}'\text{ тоньше }\mathcal{T} \iff \forall x\in X,\; \forall\varepsilon>0,\; \exists\delta>0: B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

Возьмём произвольную точку $P=(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$ и рассмотрим евклидов открытый шар $B_d(P,\varepsilon)$ с произвольным радиусом $\varepsilon>0$.

Геометрически это круг с центром в точке $P$ и радиусом $\varepsilon$.

Теперь посмотрим, что происходит в дискретной метрике. Открытый шар $B_{d'}(P,\delta)$ имеет следующий вид:

$B_{d'}(P,\delta)=\{P\}$, если $\delta\le1$;
$B_{d'}(P,\delta)=X$, если $\delta>1$.

Отсюда сразу видно, что в дискретной топологии каждое одноточечное множество является открытым.

Выберем $\delta=1$. Тогда

$$ B_{d'}(P,\delta)=\{P\}. $$

Но точка $P$ всегда принадлежит своему евклидову шару $B_d(P,\varepsilon)$. Поэтому

$$ \{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon). $$

Следовательно, для любой точки $P$ и любого радиуса $\varepsilon>0$ можно выбрать $\delta>0$, например $\delta=1$, так что

$$ B_{d'}(P,\delta)\subseteq B_d(P,\varepsilon). $$

Например, возьмём точку $P=(1,2)\in\mathbb{R}^2$. В евклидовой топологии открытый шар с центром в точке $P$ и радиусом $\varepsilon=0.4$ является открытым множеством.

В дискретной топологии множество $\{P\}=\{(1,2)\}$ тоже открыто. При этом $\{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon)$, поскольку точка $P$ находится внутри круга $B_d(P,\varepsilon)$. То же самое рассуждение работает для любой точки плоскости. Значит, внутри каждого евклидова шара можно найти открытый шар дискретной метрики с тем же центром, а именно одноточечное множество $\{P\}$.

Итак, условие критерия выполнено. Дискретная топология $\mathcal{T}'$ действительно тоньше евклидовой топологии $\mathcal{T}$, поскольку для любой точки $P$ и любого $\varepsilon>0$ существует число $\delta>0$, например $\delta=1$, такое что $$ B_{d'}(P,\delta)\subseteq B_d(P,\varepsilon). $$

Доказательство

Докажем критерий в обоих направлениях.

Сначала покажем, что если $\mathcal{T}'$ тоньше $\mathcal{T}$, то каждый $d$-шар содержит подходящий $d'$-шар с тем же центром.
Затем докажем обратное: если такое включение шаров выполняется для всех точек и всех радиусов, то $\mathcal{T}'$ действительно тоньше $\mathcal{T}$.

Разделим доказательство на две части.

A] Первая часть

Предположим, что топология $\mathcal{T}'$ тоньше топологии $\mathcal{T}$.

По определению более тонкой топологии каждое множество, открытое в $\mathcal{T}$, является открытым и в $\mathcal{T}'$. В частности, открытый шар $B_d(x,\varepsilon)$, который открыт в топологии $\mathcal{T}$, открыт также в топологии $\mathcal{T}'$.
Так как $B_d(x,\varepsilon)$ открыто в $\mathcal{T}'$ и содержит точку $x$, по определению открытого множества в метрической топологии существует число $\delta>0$, такое что открытый шар $B_{d'}(x,\delta)$ целиком содержится в $B_d(x,\varepsilon)$.
Следовательно, для любого $x\in X$ и любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$, такое что $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

B] Вторая часть

Теперь предположим, что для любого $x\in X$ и любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$, такое что

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

Докажем, что топология $\mathcal{T}'$ тоньше топологии $\mathcal{T}$.

Пусть $U$ является произвольным открытым множеством топологии $\mathcal{T}$.
Возьмём произвольную точку $x\in U$. Поскольку $U$ открыто в метрической топологии $\mathcal{T}$, существует радиус $\varepsilon>0$, такой что $$ B_d(x,\varepsilon)\subseteq U. $$
По предположению для этого $\varepsilon$ можно найти $\delta>0$, удовлетворяющее включению $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$
Отсюда получаем $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)\subseteq U. $$ Значит, у каждой точки $x\in U$ существует $d'$-шар, целиком содержащийся в $U$.
Следовательно, множество $U$ открыто в топологии $\mathcal{T}'$. Поскольку $U$ было произвольным открытым множеством из $\mathcal{T}$, каждое открытое множество топологии $\mathcal{T}$ открыто и в $\mathcal{T}'$.

Значит, $\mathcal{T}'$ тоньше $\mathcal{T}$.

Тем самым критерий доказан в обоих направлениях.

И так далее.