표준 유계 거리 정리
거리 공간 \( (X, d) \)에서는 새로운 유계 거리 \( d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) \)를 정의할 수 있다. 이 새로운 거리 \( d' \)는 원래 거리 \( d \)와 동일한 위상을 유도한다. 즉, \( d \)와 \( d' \)가 정의하는 열린집합은 서로 완전히 같다.
다시 말해, 기존 거리 \( d(x, y) \)를 다음과 같이 수정하여 새로운 거리를 만든다.
$$ d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) $$
이 정의에 따르면 \( d(x, y) \)가 1 이하일 때에는 원래 거리를 그대로 사용하고, 1보다 크면 항상 1로 바뀐다. 따라서 \( d' \)는 모든 거리가 1 이하인 유계 거리이다.
흥미로운 점은 거리를 이렇게 제한하더라도 공간의 위상은 전혀 달라지지 않는다는 것이다.
즉, 어떤 집합이 열린집합인지 여부는 그대로 유지되며, 위상적 성질 역시 변하지 않는다.
참고: 일반적으로 \(1\) 대신 임의의 \(\varepsilon > 0\)을 사용할 수도 있다. $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $$ 이 경우에도 모든 거리는 최대 \(\varepsilon\)으로 제한되지만, 유도되는 위상은 원래와 동일하다. 여기서는 설명을 단순하게 하기 위해 \( \varepsilon = 1 \)인 경우만 다룬다.
예제
실수 공간 \( \mathbb{R} \)에 표준 거리
$$ d(x, y) = |x - y| $$
를 생각하자.
이제 다음과 같은 새로운 유계 거리를 정의한다.
$$ d'(x, y) = \min(|x - y|, 1) $$
이 거리에서는 어떤 두 점 사이의 거리도 1을 넘을 수 없다.
예를 들어 \( x = 2 \), \( y = 5 \)이면 원래 거리에서는 \( d(2,5)=3 \)이다. 하지만 새로운 거리에서는 \( d'(2,5)=\min(3,1)=1 \)이 된다. 반대로 \( x = 2 \), \( y = 2.5 \)이면 \( d'(2,2.5)=\min(0.5,1)=0.5 \) 이므로 원래 거리와 동일하다. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$
즉, \( d' \)는 큰 거리만 잘라낼 뿐 가까운 점들 사이의 거리는 그대로 유지한다. 바로 이 점이 두 거리에서 동일한 위상이 만들어지는 핵심 이유이다.
왜 위상은 변하지 않을까?
거리 공간에서 열린집합은 열린공(open ball)들의 합집합으로 정의된다.
\( d' \)에서는 큰 반지름의 열린공이 달라질 수 있지만, 충분히 작은 반지름에서는 \( d \)와 \( d' \)의 열린공이 완전히 일치한다.
위상은 이러한 국소적인 구조에 의해 결정되므로, 거리의 상한을 두더라도 위상은 변하지 않는다.
이를 예를 통해 확인해 보자.
중심이 \(3\), 반지름이 \(2\)인 열린공은
$$ B_d(3,2) $$
이며, 정의에 따라
$$ B_d(x,r)=\{y\in\mathbb{R}\mid d(x,y)
이다.
여기서는
$$ B_d(3,2)=\{y\in\mathbb{R}\mid d(3,y)<2\} $$
가 된다.
표준 거리를 대입하면
$$ |3-y|<2 $$
이고, 이를 정리하면
$$ -2<3-y<2 $$
$$ -5<-y<-1 $$
$$ 1
를 얻는다.
따라서
$$ B_d(3,2)=(1,5) $$
가 된다.
수직선으로 나타내면 다음과 같다.
\( d' \)를 사용하면 반지름이 작은 여러 개의 열린공을 이용하여 같은 구간을 표현할 수 있다.
예를 들어
$$ B_{d'}(2,1)\cup B_{d'}(3,1) $$
을 생각할 수 있다.
첫 번째 열린공은 \( (1,3) \), 두 번째 열린공은 \( (2,4) \)를 덮는다. 이 두 개만으로는 구간 전체를 덮을 수 없지만, 중심을 적절히 추가하여 여러 개의 작은 열린공을 사용하면 \( (1,5) \) 전체를 덮을 수 있다.
이 예는 중요한 사실을 보여 준다. 유계 거리에서는 큰 거리가 잘려 나가더라도, 충분히 작은 열린공들을 조합하면 원래 거리에서의 열린집합을 그대로 표현할 수 있다. 따라서 두 거리가 만들어 내는 위상은 서로 동일하다.
증명
먼저 \( d' \)가 실제로 거리 함수인지 확인해야 한다. 즉, 다음 네 가지 성질을 만족해야 한다.
- \( d'(x,y)\ge0 \)
- \( d'(x,y)=0 \)일 필요충분조건은 \( x=y \)
- \( d'(x,y)=d'(y,x) \)
- 삼각부등식
삼각부등식
- \( d(x,y)+d(y,z)\ge1 \)이면 \( d'(x,y)+d'(y,z)\ge1 \)이고, 항상 \( d'(x,z)\le1 \)이므로 $$ d'(x,z)\le d'(x,y)+d'(y,z) $$ 가 성립한다.
- \( d(x,y)+d(y,z)<1 \)이면 각 거리도 모두 1보다 작으므로 $$ d'(x,y)=d(x,y), \qquad d'(y,z)=d(y,z) $$ 이다. 또한 원래 거리 \( d \)가 삼각부등식을 만족하므로 $$ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)<1 $$ 이고, 따라서 $$ d'(x,z)=d(x,z) $$ 이다. 결국 $$ d'(x,z)\le d'(x,y)+d'(y,z) $$ 가 성립한다.
이제 \( d \)가 유도하는 위상을 \( T \), \( d' \)가 유도하는 위상을 \( T' \)라고 하자.
두 위상이 같음을 보이기 위해서는 다음 두 포함관계만 증명하면 충분하다.
- \( T\subseteq T' \)
- \( T'\subseteq T \)
A. \( T\subseteq T' \)
\( U\in T \)라고 하자.
그러면 임의의 \(x\in U\)에 대해 어떤 \(r>0\)이 존재하여
$$ B_d(x,r)\subseteq U $$
이다.
이제
$$ s=\min(r,1) $$
로 두면 \(0
반지름이 1 이하이므로
$$ B_{d'}(x,s)=B_d(x,s) $$
이고, 또한
$$ B_d(x,s)\subseteq B_d(x,r)\subseteq U $$
이므로
$$ B_{d'}(x,s)\subseteq U $$
가 된다.
따라서 \(U\)는 \(d'\)-위상에서도 열린집합이며
$$ T\subseteq T' $$
이다.
B. \( T'\subseteq T \)
이번에는 \(V\in T'\)라고 하자.
그러면 임의의 \(x\in V\)에 대해
$$ B_{d'}(x,r)\subseteq V $$
를 만족하는 \(r>0\)이 존재한다.
① \(r\le1\)
이 경우에는
$$ B_d(x,r)=B_{d'}(x,r) $$
이므로 \(V\)는 \(d\)-위상에서도 열린집합이다.
② \(r>1\)
모든 \(y\in X\)에 대해
$$ d'(x,y)\le1
이므로
$$ B_{d'}(x,r)=X $$
이다.
따라서 \(V=X\)이며, 전체 공간은 항상 열린집합이다.
결국
$$ T'\subseteq T $$
가 성립한다.
결론
\( T\subseteq T' \)이고 동시에 \( T'\subseteq T \)이므로
$$ T=T' $$
이다.
즉, 표준 유계 거리
$$ d'(x,y)=\min(d(x,y),1) $$
는 원래 거리 \(d\)와 정확히 같은 위상을 유도한다.
