거리함수가 유도하는 위상의 비교 정리

집합 $X$ 위에 정의된 두 거리함수 $d$와 $d'$를 생각하자. 각각의 거리함수가 유도하는 위상을 $\mathcal{T}$와 $\mathcal{T}'$라고 하자. 이때 $\mathcal{T}'$가 $\mathcal{T}$보다 더 세밀한 위상(finer topology)일 필요충분조건은 다음과 같다. 모든 $x \in X$와 모든 $\varepsilon > 0$에 대하여 어떤 $\delta > 0$가 존재하여 $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$ 를 만족한다. 여기서 $B_d(x,\varepsilon)$와 $B_{d'}(x,\delta)$는 각각 거리함수 $d$와 $d'$에 대한 중심이 $x$이고 반지름이 각각 $\varepsilon$와 $\delta$인 열린 공(open ball)을 의미한다.

이 정리는 두 거리함수가 만들어 내는 위상을 비교할 때 가장 기본적으로 사용되는 결과 가운데 하나이다. 핵심은 한 거리에서 정의된 모든 열린 공 안에 다른 거리에서 정의된 충분히 작은 열린 공을 항상 포함시킬 수 있는지를 확인하는 것이다.

집합 $X$ 위에 두 개의 서로 다른 거리함수 $d$와 $d'$가 정의되어 있다고 하자. 각각의 거리함수는 다음과 같은 위상을 유도한다.

거리함수 $d$가 유도하는 위상 $\mathcal{T}$
거리함수 $d'$가 유도하는 위상 $\mathcal{T}'$

정리에 따르면 $\mathcal{T}'$가 $\mathcal{T}$보다 더 세밀한 위상이라는 것은, 임의의 점과 임의의 $d$-열린 공을 선택했을 때 그 안에 완전히 포함되는 $d'$-열린 공을 항상 찾을 수 있다는 것과 정확히 같은 의미이다.

이러한 관점은 두 위상의 포함 관계를 직관적으로 이해하는 데 도움이 되며, 거리와 위상이 어떻게 연결되는지도 명확하게 보여 준다.

예제
증명

예제

$X=\mathbb{R}^2$, 즉 데카르트 평면에서 다음 두 거리함수를 비교해 보자.

유클리드 거리(Euclidean metric): \[ d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \] 이 거리에서 열린 공은 원판의 내부이며, $$ B_d((x,y),\varepsilon) = \{(u,v)\in\mathbb{R}^2 : \sqrt{(u-x)^2+(v-y)^2} < \varepsilon \} $$ 로 정의된다.
이산 거리(Discrete metric): \[ d'((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \begin{cases} 0 & \text{if } (x_1,y_1)=(x_2,y_2),\\ 1 & \text{if } (x_1,y_1)\neq(x_2,y_2) \end{cases} \] 이 거리에서 열린 공은 \[ B_{d'}((x,y),\delta) = \begin{cases} \{(x,y)\} & \text{if } \delta\le1, \\ X & \text{if } \delta>1 \end{cases} \] 로 정의된다.

이제 이산 위상이 유클리드 위상보다 더 세밀한 위상임을 확인해 보자.

정리에 따르면 다음 조건을 보이면 충분하다.

$$ \mathcal{T}' \text{ is finer than } \mathcal{T} \iff \forall x\in X,\; \forall\varepsilon>0,\; \exists\delta>0 \text{ such that } B_{d'}(x,\delta) \subseteq B_d(x,\varepsilon) $$

평면 위의 임의의 점 $P=(x_0,y_0)$를 선택하고, 반지름이 $\varepsilon>0$인 유클리드 열린 공 $B_d(P,\varepsilon)$를 생각하자.

이 열린 공은 중심이 $P$이고 반지름이 $\varepsilon$인 원판이다.

반면 이산 거리에서 열린 공 $B_{d'}(P,\delta)$는 정의에 따라 다음 두 경우만 가능하다.

$\delta\le1$이면 $\{P\}$
$\delta>1$이면 전체 공간 $X$

이산 위상에서는 모든 한 점 집합이 열린집합이다.

이제 $\delta=1$을 선택하면 \[ B_{d'}(P,\delta)=\{P\} \] 가 된다.

또한 점 $P$는 항상 자신의 중심을 갖는 유클리드 열린 공 안에 포함되므로 \[ \{P\} \subseteq B_d(P,\varepsilon) \] 가 성립한다.

따라서 모든 점 $P$와 모든 $\varepsilon>0$에 대하여 적절한 $\delta>0$를 항상 선택할 수 있으며, $$ B_{d'}(P,\delta) \subseteq B_d(P,\varepsilon) $$ 를 만족한다.

예를 들어 점 $P=(1,2)\in\mathbb{R}^2$를 생각해 보자. 유클리드 위상에서 중심이 $P$이고 반지름이 $\varepsilon=0.4$인 열린 공은 열린집합이다.
거리함수가 유도하는 위상의 비교 예
한편 이산 위상에서는 모든 한 점 집합이 열린집합이므로 $\{P\}=\{(1,2)\}$도 열린집합이다. 또한 $P$는 원판 $B_d(P,\varepsilon)$ 안에 있으므로 \[ \{P\} \subseteq B_d(P,\varepsilon) \] 가 성립한다. 같은 논리는 평면 위의 모든 점에 그대로 적용된다. 따라서 유클리드 위상의 임의의 열린 공은 이산 위상의 열린집합을 하나 이상 포함하게 되며, 이는 정리의 조건이 충족됨을 보여 준다.

결론적으로 모든 점 $P$와 모든 $\varepsilon>0$에 대하여 적절한 $\delta>0$가 존재하며, 여기서는 $\delta=1$을 선택하면 된다. 따라서 \[ B_{d'}(P,\delta) \subseteq B_d(P,\varepsilon) \] 가 항상 성립하므로, 이산 위상 $\mathcal{T}'$는 유클리드 위상 $\mathcal{T}$보다 더 세밀한 위상이다.

증명

이 정리는 양방향을 각각 증명하면 된다.

$\mathcal{T}'$가 $\mathcal{T}$보다 더 세밀한 위상이라면, 모든 $x\in X$와 모든 $\varepsilon>0$에 대하여 $B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)$를 만족하는 $\delta>0$가 존재한다.
반대로 이러한 조건이 모든 점과 모든 반지름에 대해 성립한다면, $\mathcal{T}'$는 $\mathcal{T}$보다 더 세밀한 위상이다.

이제 두 방향을 차례대로 증명하자.

A] 첫 번째 방향

$\mathcal{T}'$가 $\mathcal{T}$보다 더 세밀한 위상이라고 가정하자.

정의에 따르면 $\mathcal{T}$의 모든 열린집합은 $\mathcal{T}'$에서도 열린집합이다. 따라서 모든 $d$-열린 공 $B_d(x,\varepsilon)$ 역시 $\mathcal{T}'$에서 열린집합이다.
$B_d(x,\varepsilon)$가 $\mathcal{T}'$에서 열린집합이므로 열린집합의 정의에 의해 점 $x$는 $B_d(x,\varepsilon)$ 안에 완전히 포함되는 어떤 $d'$-열린 공 $B_{d'}(x,\delta)$를 갖는다.
즉, $$ B_{d'}(x,\delta) \subseteq B_d(x,\varepsilon) $$ 를 만족하는 $\delta>0$가 존재한다.

B] 두 번째 방향

이번에는 모든 $x\in X$와 모든 $\varepsilon>0$에 대하여 \[ B_{d'}(x,\delta) \subseteq B_d(x,\varepsilon) \] 를 만족하는 $\delta>0$가 존재한다고 가정하자.

가정에 의해 각 점 $x$와 각 반지름 $\varepsilon$에 대해 적절한 $d'$-열린 공을 항상 선택할 수 있다.
$\mathcal{T}$의 임의의 열린집합 $U$를 잡자. 정의에 따라 $U$는 $d$-열린 공들의 합집합으로 표현된다.
임의의 점 $x\in U$를 선택하면, 어떤 $\varepsilon>0$에 대해 \[ B_d(x,\varepsilon) \subseteq U \] 가 성립한다.
가정에 의해 \[ B_{d'}(x,\delta) \subseteq B_d(x,\varepsilon) \subseteq U \] 를 만족하는 $d'$-열린 공이 존재한다.
따라서 $U$의 모든 점은 $U$ 안에 포함되는 $d'$-열린 근방을 가지므로, $U$는 $\mathcal{T}'$에서도 열린집합이다.

이로써 두 방향이 모두 증명되었으며, 따라서 정리가 성립한다.

이와 같은 방법은 다른 거리공간에서 유도되는 위상들을 비교할 때에도 동일하게 적용할 수 있다.