距離空間はハウスドルフ空間である

すべての距離空間はハウスドルフ空間である。したがって、ハウスドルフ空間でない位相空間は、いかなる距離によっても定義することはできない。

ハウスドルフ空間とは、任意の相異なる2点に対して、それぞれを含む互いに交わらない近傍を取ることができる位相空間である。

言い換えれば、距離が定義された空間では、異なる2点を常に互いに交わらない開集合によって「分離」できる。この性質は、距離空間が備える基本的かつ重要な特徴の一つである。

注。ハウスドルフ性は、一部の点の組についてではなく、空間内のすべての相異なる2点に対して成立しなければならない。

具体例

標準的なユークリッド距離 \(d(x,y)\) を備えたユークリッド平面 \(\mathbb{R}^2\) を考える。ここで、\(x=(x_1,x_2)\)、\(y=(y_1,y_2)\) は平面上の点であり、距離は次式で与えられる。

$$ d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}. $$

この距離を備えた \(\mathbb{R}^2\) は典型的な距離空間である。

では、相異なる2点 \(A=(x_1,y_1)\)、\(B=(x_2,y_2)\) を取ろう。

\(A\neq B\) であるため、その距離 \(d(A,B)\) は必ず正である。

そこで、2点間の距離の半分を半径とする。

$$ r=\frac{d(A,B)}{2} $$

この半径を用いて、次の2つの開球を定める。

• \(U=\{P\in\mathbb{R}^2:d(P,A)
• \(V=\{P\in\mathbb{R}^2:d(P,B)

これらはそれぞれ、点 \(A\)、点 \(B\) を中心とする半径 \(r\) の開球である。

このとき、2つの開球は互いに交わらない。

$$ U\cap V=\varnothing $$

実際、もし両方に属する点が存在するとすれば、三角不等式より \(d(A,B)

この議論は任意の相異なる2点について成り立つため、ユークリッド平面 \(\mathbb{R}^2\) はハウスドルフ空間であることが分かる。

例2

次に、有限補位相を備えた実数全体の集合 \(\mathbb{R}\) を考える。

有限補位相では、集合 \(U\subseteq\mathbb{R}\) が開集合であるとは、\(U=\varnothing\) であるか、あるいは補集合 \(\mathbb{R}\setminus U\) が有限集合であることを意味する。

つまり、有限個の点を除いてほぼすべての実数を含む集合だけが開集合になる。

ここで、相異なる2点 \(x,y\in\mathbb{R}\) を取る。

\(x\) と \(y\) を含む互いに交わらない開集合が存在するか調べてみよう。

\(x\) を含む開集合を \(U\)、\(y\) を含む開集合を \(V\) とする。

どちらも有限補位相の開集合なので、それぞれ有限個の点しか除外できない。そのため、両者はどちらも実数のほとんどすべてを含む。

したがって、\(U\cap V\) は空集合にはならない。

実際、その共通部分には無限個の点が含まれる。

したがって、位相空間 \((\mathbb{R},\text{finite complement topology})\) はハウスドルフ空間ではない。

その結果、この位相空間は距離によって定義される空間ではないことが分かる。

証明

距離空間 \((X,d)\) において、相異なる2点 \(x\)、\(y\) を取る。

\(x\neq y\) であるから、距離の公理より

$$ d(x,y)>0 $$

が成り立つ。

ここで

$$ \varepsilon=d(x,y) $$

とおく。

次に、半径 \(\varepsilon/2\) の開球

$$ U=\{z\in X:d(z,x)<\varepsilon/2\} $$

および

$$ V=\{z\in X:d(z,y)<\varepsilon/2\} $$

を考える。

これらが互いに交わらないことを示そう。

背理法により、ある点 \(z\) が \(U\) と \(V\) の両方に属すると仮定する。

すると、

$$ d(z,x)<\frac{\varepsilon}{2}, \qquad d(z,y)<\frac{\varepsilon}{2} $$

が成り立つ。

三角不等式より、

$$ d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$

となる。

しかし、\(\varepsilon=d(x,y)\) と定めたので、これは矛盾である。

したがって、\(U\) と \(V\) の両方に属する点は存在しない。

以上より、距離空間では任意の相異なる2点に対して、それぞれを含む互いに交わらない開集合を常に取ることができる。

ゆえに、すべての距離空間はハウスドルフ空間である。

以下同様である。