距離位相の基底定理

距離空間 \((X,d)\) において、すべての開球からなる族 $$ \mathcal{B}=\{B_d(x,\varepsilon)\mid x\in X,\ \varepsilon>0\} $$ は、\(X\) 上の位相の基底を成す。この開球族から生成される位相を距離位相という。

この定理は、距離空間と位相空間を結び付ける最も重要な基本定理の一つである。距離空間におけるすべての開集合は開球を用いて表すことができるため、開球は距離位相を構成する最も基本的な幾何学的要素となる。

集合族 \(\mathcal{B}\) が位相の基底であるとは、その位相に属する任意の開集合が、\(\mathcal{B}\) に属する集合の合併として表されることをいう。

基底であるためには、集合族は次の二つの条件を満たさなければならない。

1. 被覆条件 任意の点 \(x\in X\) は、少なくとも一つの基底要素に含まれている。
2. 交叉条件 点 \(x\) が二つの基底要素の共通部分に属するとき、その共通部分に含まれ、かつ \(x\) を含む基底要素が存在する。

この定理は、すべての開球からなる族がこれら二つの条件を満たすことを示している。したがって、開球族は距離位相の基底となる。

中心 \(x\)、半径 \(\varepsilon>0\) の開球は、次のように定義される。 $$ B_d(x,\varepsilon)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon\}. $$ つまり、点 \(x\) からの距離が \(\varepsilon\) 未満であるすべての点からなる集合である。

直感的には、建物が煉瓦を積み重ねて作られるように、開集合も開球を組み合わせることで構成されると考えることができる。この定理は、その考え方を数学的に保証するものである。

例

平面 \(\mathbb{R}^2\) の次の部分集合を考える。

$$ A=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid 1<\sqrt{x_1^2+x_2^2}<2\}. $$

この集合は、原点からの距離が 1 より大きく、2 より小さいすべての点からなる。

幾何学的には、これは円環領域、すなわち半径 1 と半径 2 の二つの同心円にはさまれた領域である。

境界となる円周は含まれていないため、集合 \(A\) は開集合である。

この円環領域は、開球の合併として表すことができるだろうか。

基底定理によれば、その答えは「できる」である。

円環領域の内部から任意の点を選び、その点を中心として、開球全体が円環領域からはみ出さないよう十分小さい半径を取る。

例えば、点 \(p_1=(1.5,0)\) と半径 \(\varepsilon_1=0.3\) を考える。

$$ B_d((1.5,0),0.3) = \{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 \mid d((1.5,0),(x_1,x_2))<0.3\}. $$

この開球は、円環領域の内部に完全に含まれている。

同様に、点 \(p_2=(-1.5,0)\) と半径 \(\varepsilon_2=0.4\) を考える。

$$ B_d((-1.5,0),0.4) = \{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 \mid d((-1.5,0),(x_1,x_2))<0.4\}. $$

この開球も、円環領域の内部に完全に含まれている。

この操作を繰り返せば、境界を越えないよう半径を十分小さく選びながら、円環領域全体を開球で覆うことができる。

したがって、集合 \(A\) はこれらの開球の合併として表される。

すなわち、

$$ A=\bigcup_i B_d(x_i,\varepsilon_i). $$

ここで、各中心 \(x_i\) は円環領域に属し、各半径 \(\varepsilon_i\) は

$$ B_d(x_i,\varepsilon_i)\subseteq A $$

となるように選ばれている。

この例は、距離空間における任意の開集合は開球の合併として表せるという一般原理を具体的に示している。

このため、開球は距離位相の基本的な構成要素と考えられている。

証明

ここでは、距離空間 \((X,d)\) におけるすべての開球からなる族が、\(X\) 上の位相の基底となることを示す。

そのためには、基底の二つの条件を確認すれば十分である。

任意の点は基底要素に属する

\(x\in X\) を任意に取る。

任意の半径 \(\varepsilon>0\) に対して、開球 \(B_d(x,\varepsilon)\) は集合族 \(\mathcal{B}\) に属する。

さらに、

$$ d(x,x)=0<\varepsilon, $$

であるから、\(x\in B_d(x,\varepsilon)\) が成り立つ。

したがって、\(X\) の任意の点は少なくとも一つの開球に含まれる。よって、被覆条件は満たされる。

交叉条件

\(B_1\)、\(B_2\) を二つの開球とし、

$$ x\in B_1\cap B_2 $$

と仮定する。

このとき、\(x\) を含み、しかも共通部分 \(B_1\cap B_2\) の内部に完全に含まれる開球が存在することを示せばよい。

\(x\in B_1\) であるから、ある半径 \(\delta_1>0\) が存在して、

$$ B_d(x,\delta_1)\subseteq B_1. $$

同様に、\(x\in B_2\) であるから、ある半径 \(\delta_2>0\) が存在して、

$$ B_d(x,\delta_2)\subseteq B_2. $$

ここで、二つの半径のうち小さい方を選ぶ。

$$ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. $$

すると、\(B_d(x,\delta)\) の任意の点は \(B_1\) と \(B_2\) の両方に属するので、

$$ B_d(x,\delta)\subseteq B_1\cap B_2. $$

したがって、交叉条件も満たされる。

以上により、基底の二つの条件はいずれも成立する。

ゆえに、すべての開球からなる族は \(X\) 上の位相の基底であり、この位相が距離 \(d\) によって誘導される距離位相である。