距離化可能空間

距離化可能空間とは、位相空間 $ X $ の位相を誘導する距離 $ d $ が存在する位相空間のことです。

集合 $ X $ 上の距離 $ d $ とは、写像 $ d: X \times X \to [0, \infty) $ であり、非負性、対称性、三角不等式、および $ d(x, y) = 0 $ が成り立つのは $ x = y $ の場合に限るという条件を満たします。

距離 $ d $ が定まると、それに対応する開球を用いて位相を定義できます。点 $ x $ を中心、半径 $ r > 0 $ とする開球は、次のように定義されます。

$$ B_r(x) = \{y \in X : d(x, y) < r\} $$

距離 $ d $ が誘導する位相では、すべての開集合は、このような開球の任意和として表されます。

したがって、位相空間 $ X $ が距離化可能であるとは、ある距離 $ d $ が存在し、その距離から得られる位相が、もとの位相と完全に一致することを意味します。

注: 言い換えれば、$ X $ のすべての開集合が、距離 $ d $ による開球の任意和として表せる場合、その位相は距離によって記述できます。

例えば、距離によって定まる位相は必ずハウスドルフ位相になります。そのため、ハウスドルフ空間でない位相空間は距離化可能ではありません。したがって、すべての位相空間が距離化可能というわけではありません。

具体例

標準位相を備えた実数直線 $ \mathbb{R} $ を考えます。

この位相では、開集合は $ a, b \in \mathbb{R} $、$ a < b $ を満たす開区間 $ (a, b) $ の任意和として表されます。

ここで、実数直線上の通常の距離を次のように定義します。

$$ d(x, y) = |x - y| $$

これは、2 点 $ x $ と $ y $ の間の通常の距離です。

この距離において、点 $ x $ を中心、半径 $ r $ の開球は次のようになります。

$$ B_r(x) = \{ y \in \mathbb{R} : d(x, y) < r \} = (x - r, x + r) $$

つまり、開球は開区間そのものになります。

$ \mathbb{R} $ の標準位相では、任意の開集合は開区間の任意和として表されます。一方、開区間は距離 $ d(x, y) $ による開球そのものです。したがって、標準位相を備えた実数直線 $ \mathbb{R} $ は距離化可能です。

例 2

離散位相を備えた任意の集合 $ X $ を考えます。$ X $ は有限集合でも無限集合でも構いません。

離散位相では、すべての部分集合が開集合になります。

$ X $ 上に次の距離を定義します。

$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0 & \text{if } x = y, \\
1 & \text{if } x \neq y.
\end{cases}
$$

この距離は離散距離と呼ばれます。

それでは、この距離が離散位相を誘導することを確認してみましょう。

点 $ x $ を中心とする半径 $ r $ の開球は、半径によって次のようになります。

$ r \leq 1 $ の場合、$ B_r(x) = \{x\} $
説明: $ r \leq 1 $ のとき、条件 $ d(x, y) < r $ を満たすのは $ d(x, y) = 0 $ の場合だけです。つまり、$ y = x $ となるため、開球は中心点だけを含む集合 $ \{x\} $ になります。
$ r > 1 $ の場合、$ B_r(x) = X $
説明: $ r > 1 $ のときは、$ d(x, y) = 0 $ と $ d(x, y) = 1 $ の両方が条件を満たします。そのため、すべての点が開球に含まれ、$ B_r(x) = X $ になります。

集合 $ \{x\} $ と $ X $ は、どちらも離散位相における開集合です。

さらに、離散位相の任意の開集合は、1 点集合 $ \{x\} $ の任意和として表せます。したがって、この距離は離散位相を誘導し、離散位相を備えた $ X $ は距離化可能です。

この例からも分かるように、距離は空間の位相構造を正確に記述しています。

距離化可能空間について知っておくと便利な性質をいくつか紹介します。

位相空間 $ X $ が距離化可能であり、$ Y $ が $ X $ と同相であるならば、$ Y $ も距離化可能です。
距離化可能性は、同相写像によって保存される位相的性質です。つまり、ある空間が距離化可能であれば、それと同相な空間も必ず距離化可能になります。そのため、同相であることが分かれば、新たに距離を構成しなくても距離化可能であると結論できます。
ウリゾーンの距離化定理
正則で可算基をもつ位相空間は距離化可能です。この定理は、位相空間が距離によって記述できるかどうかを判定するための代表的な十分条件として広く用いられています。

このほかにも、距離化可能空間には多くの重要な性質や特徴づけが存在します。