距離空間における有界集合

距離空間 \((X, d)\) において、\(d\) を点と点の距離を定める距離関数とします。部分集合 \(A \subseteq X\) が有界であるとは、ある正の実数 \(\mu > 0\) が存在し、任意の 2 点 \(x, y \in A\) に対して距離 \(d(x, y)\) が常に \(\mu\) 以下となることをいいます。

言い換えれば、集合 \(A\) に含まれるどの 2 点を選んでも、その距離には共通の上限が存在するということです。

また、集合全体 \(X\) が距離 \(d\) に関して有界である場合、その距離 \(d\) を有界距離と呼びます。

つまり、\(X\) に属する任意の 2 点間の距離が、ある一定の値 \(\mu\) を超えないことを意味します。

注: 距離 \(d\) が有界であれば、\(X\) のすべての部分集合も自動的に有界になります。部分集合に含まれる点同士の距離は、空間全体における最大距離を超えることがないためです。

具体例

ユークリッド距離を距離関数とするデカルト平面 \(\mathbb{R}^2\) を考えます。

2 点 \((x_1, y_1)\) と \((x_2, y_2)\) の距離は、次の式で表されます。

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

次に、原点を中心とする半径 \(10\) の閉円板を表す部分集合 \(A\) を考えます。この集合は次のように定義されます。

$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$

集合 \(A\) が有界であることを示すには、ある値 \(\mu > 0\) が存在し、任意の 2 点 \((x_1, y_1), (x_2, y_2) \in A\) に対して \(d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) \leq \mu\) が成り立つことを確認すれば十分です。

この集合で最も大きな距離となるのは、2 点が円の直径の両端に位置する場合です。例えば、\((10,0)\) と \((-10,0)\) を考えると、その距離は次のようになります。

$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-20)^2} = 20 $$

したがって、集合 \(A\) に含まれる任意の 2 点間の距離は最大でも \(20\) です。

つまり、円板内でどの 2 点を選んでも、その距離が \(20\) を超えることはありません。

このことから、集合 \(A\) は \(\mu = 20\) によって有界であることがわかります。

距離の有界性は位相に影響しない

距離が有界であるかどうかは、その距離が誘導する位相、すなわち開集合や閉集合の構造には影響を与えません。

位相とは何か。 位相とは、「開集合」や「閉集合」を定義するための数学的な枠組みです。重要なのは距離の数値そのものではなく、点同士の近さの構造です。

そのため、距離が有界でなくても、まったく同じ位相を誘導する有界距離を構成することができます。

言い換えれば、距離が有界かどうかによって、どの集合が開集合あるいは閉集合になるかは変わりません。

例

有界でない距離を有界距離へ変換するには、空間の位相を保ったまま、大きな距離を圧縮する変換を用います。

代表的な変換は次のとおりです。

$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$

この変換では、距離 \(d(x, y)\) が小さい場合、変換後の距離 \(d'(x, y)\) は元の値とほぼ同じになります。

例えば、\(d(x, y)=1\) のときは次のようになります。

$$ d'(x, y) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $$

一方、距離 \(d(x, y)\) が非常に大きくなると、変換後の距離 \(d'(x, y)\) は \(1\) に限りなく近づきます。

したがって、元の距離がどれほど大きくても、変換後の距離は常に \(0\) 以上 \(1\) 未満の範囲に収まります。

例えば、距離空間 \((X, d)\) において、距離が \(d(x,y)=|x-y|\)（通常のユークリッド距離）で定義されているとします。

この距離は、\(x\) と \(y\) をいくらでも離すことができるため、有界ではありません。

この変換を適用すると、次の距離が得られます。

$$ d'(x, y) = \frac{|x - y|}{1 + |x - y|} $$

\(x=1\)、\(y=2\) の場合、元の距離は \(d(1,2)=1\) であり、変換後は次のようになります。

$$ d'(1, 2) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $$

\(x=1\)、\(y=1000\) の場合、元の距離は \(d(1,1000)=999\) ですが、変換後は次のようになります。

$$ d'(1, 1000) = \frac{999}{1 + 999} = 0.999 $$

このように、すべての距離は \(0\) 以上 \(1\) 未満に収まり、距離の上限が得られます。

さらに、距離 \(d\) と \(d'\) が定める開集合および閉集合は完全に一致するため、空間の位相構造はまったく変わりません。

この方法は一般の非有界距離にも適用でき、位相を保ちながら有界距離を構成する代表的な手法として広く利用されています。