集合間の距離

距離空間 $(X, d)$ において、2つの集合 $A$ と $B$ の距離とは、$A$ に属する点と $B$ に属する点との距離全体の下限として定義されます。$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A,\ b \in B \}, $$ ここで、$d(a, b)$ は距離 $d$ による点 $a$ と点 $b$ の距離を表し、$\inf$（下限）は、それらすべての距離に共通する下界のうち最大の値を意味します。

集合間の距離を求めるには、$A$ と $B$ からそれぞれ1点ずつ選び、考えられるすべての組について距離を調べます。その距離全体の下限が、集合 $A$ と $B$ の距離です。

注: 集合間の距離は、「2つの集合の点同士がどこまで近づけるか」を表す概念です。そのため、距離が小さいからといって、必ずしも集合同士が接している、あるいは一致していることを意味するわけではありません。

距離が0になる場合
具体例

距離が0になる場合

$d(A, B)=0$ であるとは、$A$ と $B$ の点同士を限りなく近づけることができることを意味します。しかし、それだけで2つの集合が接していることや、共通の点を持つことは保証されません。

したがって、集合 $A$ と $B$ が互いに素であり、

$$ A \cap B = \emptyset $$

であっても、距離が $0$ になる場合があります。

具体例

距離を

$$ d = |x_1 - x_2| $$

で定めた数直線上の距離空間を考えます。

ここでは、3つの代表的な場合を見ていきましょう。

A] 場合1

$A=\{0\}$、$B=[1,2]$ とします。

このとき、2つの集合の距離は $1$ です。

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a,b)\mid a\in A,\ b\in B \} = d(0,1) = 1 $$

$A$ に含まれる唯一の点 $0$ から、$B$ の最も近い点 $1$ までの距離はちょうど $1$ になります。

集合間の距離の例

B] 場合2

$A=[0,1]$、$B=[1,2]$ とします。

この場合、集合間の距離は $0$ になります。

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a,b)\mid a\in A,\ b\in B \} = d(1,1) = 0 $$

これは、2つの集合が点 $1$ を共有しており、その点で接しているためです。

集合間の距離の例

実際、共通部分は空ではありません。

$$ A \cap B = \{1\} $$

C] 場合3

$A=(0,1)$、$B=(1,2)$ とします。

この場合も、集合間の距離は $0$ です。

$$ d(A,B) = \inf \{ d(a,b)\mid a\in A,\ b\in B \} $$

ただし、この2つの集合は開区間なので、点 $1$ はどちらにも含まれていません。

したがって、

$$ A \cap B = \emptyset $$

となり、2つの集合は互いに素です。

それにもかかわらず距離が $0$ になるのは、$A$ の点を $1$ に限りなく近づけることができ、同時に $B$ の点も $1$ に限りなく近づけられるからです。

集合間の距離の例

$A$ の点 $a$ は $1$ にいくらでも近づけますが、開区間であるため $1$ 自体を取ることはできません。

同様に、$B$ の点 $b$ も $1$ にいくらでも近づけますが、やはり $1$ を含みません。

その結果、集合間の距離は

$$ d(A,B) = \inf \{|a-b|\mid a\in A,\ b\in B\} = |1-1| = 0 $$

となります。

つまり、2つの集合は交わっていなくても、それぞれの点を互いに限りなく近づけることができるため、集合間の距離は $0$ になるのです。

注: 集合間の距離が $0$ であっても、それだけで集合が一致していることや接していることを意味するわけではありません。集合間の距離は、点同士をどこまで近づけられるかを表す概念であり、共通点の有無とは別の性質です。

以下同様です。