距離空間における連続性の同値な定義

この定理は、距離空間どうしの間に定義された写像について、連続性をどのように捉えればよいかを説明するものです。特に、位相的な定義とイプシロン・デルタによる定義が、同じ内容を別の角度から表していることを明らかにします。

距離空間 $(X, d_X)$ から距離空間 $(Y, d_Y)$ への写像 $f$ が連続であるとは、次の条件を満たすことをいいます。

任意の点 $x \in X$ を取り、像の空間 $Y$ においてどの程度まで近ければよいかを表す正の数 $\varepsilon > 0$ を任意に与えます。
このとき、定義域 $X$ において $x$ にどの程度近づけばよいかを表す正の数 $\delta > 0$ が存在します。
点 $x'$ が $x$ に十分近い、すなわち $d_X$ で測った $x$ と $x'$ の距離が $\delta$ より小さいならば、$$ d_X < \delta $$ その像 $f(x)$ と $f(x')$ も $Y$ において十分近くなり、その距離 $d_Y$ は $\varepsilon$ より小さくなります。$$ d_Y < \varepsilon $$

直感的に言えば、連続写像とは、入力をほんの少し動かしたときに、出力もほんの少ししか動かない写像です。つまり、定義域 $X$ での小さな変化が、値域 $Y$ で突然大きな変化を生み出すことはありません。

この考え方は、「距離空間における連続性のイプシロン・デルタ定義」、または「距離空間における連続性とイプシロン・デルタ条件の同値性」と呼ばれます。

微分積分学で学ぶ連続性も、実はこの考え方の特別な場合です。距離空間という枠組みを使うことで、実数上の関数だけでなく、より広い対象に対して同じ連続性の考え方を適用できます。

注：微分積分学で扱う $\mathbb{R}$ や $\mathbb{R}^n$ 上の連続性は、この一般的な定義の特別な場合です。たとえば、関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が点 $x \in \mathbb{R}$ で連続であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$|x - x'| < \delta$ ならば $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$ が成り立つことをいいます。このとき使われているのは、実数上の通常の距離です。$$ d_X(x, x') = |x - x'| $$ $$ d_Y(f(x), f(x')) = |f(x) - f(x')| $$ 距離空間における定義は、$\mathbb{R}$ 上の関数に限らず、任意の距離空間の間の写像に適用できます。ただし、根本にある考え方は変わりません。すなわち、「入力の小さな変化は、出力の小さな変化をもたらす」ということです。

具体例
証明

具体例

次の二つの距離空間を考えます。

定義域：$X = \mathbb{R}$、標準距離 $d_X(x, x') = |x - x'|$。
値域：$Y = \mathbb{R}$、標準距離 $d_Y(y, y') = |y - y'|$。

写像 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を次のように定めます。

$$ f(x) = 2x $$

ここでは、開集合による定義とイプシロン・デルタによる定義の両方を使って、$f(x) = 2x$ が連続であることを確認します。これにより、二つの定義が実際には同じ内容を表していることが見えてきます。

1] 開集合による連続性

標準距離から誘導される位相では、集合 $V \subseteq Y$ が開集合であるとは、任意の $y \in V$ に対して、ある $\varepsilon > 0$ が存在し、開球 $B_Y(y, \varepsilon) = \{y' \in Y \mid |y - y'| < \varepsilon\}$ が $V$ に含まれることを意味します。

$V \subseteq Y$ を開集合とします。逆像 $f^{-1}(V)$ は次のように定義されます。

$$ f^{-1}(V) = \{x \in X \mid f(x) \in V\} $$

$f(x) = 2x$ なので、次のように書けます。

$$ f^{-1}(V) = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x \in V\} $$

任意の $y \in V$ に対して、ある $\varepsilon > 0$ が存在し、$B_Y(y, \varepsilon) \subseteq V$ が成り立ちます。

したがって、$x \in f^{-1}(V)$ に対して、$\delta = \varepsilon / 2$ とおけば、開球 $B_X(x, \delta)$ はすべて $f^{-1}(V)$ に含まれます。

よって、$Y$ の任意の開集合の逆像は $X$ の開集合です。したがって、位相的な定義により $f(x) = 2x$ は連続です。

2] イプシロン・デルタによる連続性

$x \in X$ と $\varepsilon > 0$ を任意に取ります。$|x - x'| < \delta$ ならば $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$ となるような $\delta > 0$ を見つければよいことになります。

$$ f(x) = 2x \quad \text{and} \quad f(x') = 2x', \quad \text{thus:} $$

$$ |f(x) - f(x')| = |2x - 2x'| = 2|x - x'| $$

$|f(x) - f(x')| < \varepsilon$ を成り立たせるには、次のように取れば十分です。

$$ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$

実際、$|x - x'| < \delta = \varepsilon / 2$ ならば、

$$ |f(x) - f(x')| = 2|x - x'| < 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$

となります。したがって、イプシロン・デルタによる定義からも、$f$ が連続であることが確認できます。

3] 結論

この例から、次のことが分かります。

$f(x) = 2x$ が連続であるため、任意の開集合の逆像は開集合になります。
開集合による連続性の定義とイプシロン・デルタによる定義は、同じ連続性を異なる形で表したものです。

証明

ここでは、距離空間 $X$ と $Y$ の間の写像 $f : X \to Y$ について、次の二つの連続性の定義が同値であることを示します。

開集合による定義：任意の開集合 $U \subseteq Y$ に対して、逆像 $f^{-1}(U)$ が $X$ の開集合であるとき、$f$ は連続である。
近傍による定義：任意の $x \in X$ と、$f(x)$ を含む任意の開集合 $U \subseteq Y$ に対して、$x$ の近傍 $V$ が存在し、$f(V) \subseteq U$ が成り立つ。

1] 開集合による定義から近傍による定義が従うことの証明

$f$ が開集合による定義の意味で連続であると仮定します。つまり、任意の開集合 $U \subseteq Y$ に対して、$f^{-1}(U)$ は $X$ の開集合であるとします。

$x \in X$ を任意に取り、$U \subseteq Y$ を $f(x) \in U$ を満たす開集合とします。

このとき、$x \in f^{-1}(U)$ です。また、仮定より $f^{-1}(U)$ は $X$ の開集合です。したがって、$x$ のある近傍 $V$ が存在して、

$$ V \subseteq f^{-1}(U) $$

が成り立ちます。

これは、$V$ の任意の点を $f$ で写すと、その像が $U$ に入ることを意味します。したがって、

$$ f(V) \subseteq U $$

となり、近傍による定義が満たされます。

2] 近傍による定義から開集合による定義が従うことの証明

任意の $x \in X$ と、$f(x)$ を含む任意の開集合 $U \subseteq Y$ に対して、$x$ の近傍 $V$ が存在し、$f(V) \subseteq U$ が成り立つと仮定します。

任意の開集合 $W \subseteq Y$ に対して、$f^{-1}(W)$ が $X$ の開集合であることを示します。

点 $x \in f^{-1}(W)$ を任意に取ります。このとき、逆像の定義より $f(x) \in W$ です。

$W$ は開集合であり、しかも $f(x)$ を含んでいます。したがって仮定により、$x$ の近傍 $V$ が存在して、

$$ f(V) \subseteq W $$

が成り立ちます。

これは、$V$ の各点がすべて $f^{-1}(W)$ に属することを意味します。したがって、

$$ V \subseteq f^{-1}(W) $$

となります。

任意の点 $x \in f^{-1}(W)$ に対して、このような近傍 $V$ が存在するので、$f^{-1}(W)$ は $X$ の開集合です。

以上により、写像 $f : X \to Y$ が開集合による定義の意味で連続であることと、近傍による定義を満たすことは同値であることが示されました。

以下同様です。