تكافؤ الفضاءات المترية

يُقال إن فضاءين متريين متكافئان إذا وُجد تطبيق $f : X \to Y$ يحقق الشرطين الآتيين:

تقابلي: يربط كل عنصر من $X$ بعنصر واحد فقط من $Y$، ويكون كل عنصر من $Y$ صورة لعنصر واحد فقط من $X$.
حافظ للمسافة: لأي نقطتين $x_1, x_2 \in X$، تبقى المسافة بينهما دون تغيير بعد تطبيق الدالة. أي: $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$

وعندما يوجد مثل هذا التطبيق، يُقال إن الفضاءين متساويا القياس (Isometric)، أي إنهما متكافئان من الناحية المترية.

بصورة مبسطة، يهدف مفهوم تكافؤ الفضاءات المترية إلى معرفة ما إذا كان فضاءان متريان، هما $(X, d_X)$ و$(Y, d_Y)$، متماثلين من حيث قياس المسافات، حتى وإن اختلفت عناصرهما أو طريقة تمثيلهما.

إذا كان فضاءان متساويي القياس، فإنهما يمتلكان الطوبولوجيا نفسها، أي إنهما يحددان المجموعات المفتوحة نفسها ويشتركان في البنية الطوبولوجية ذاتها.
لكن العكس ليس صحيحًا دائمًا. فقد يشترك فضاءان في الطوبولوجيا نفسها من دون أن يكونا متساويي القياس، لأن تساوي القياس شرط أقوى من التكافؤ الطوبولوجي. فهو يتطلب الحفاظ على جميع المسافات بدقة، وليس فقط الحفاظ على بنية المجموعات المفتوحة.

مثال عملي
مثال ثانٍ

مثال عملي

لنأخذ الفضاءين المتريين الآتيين:

$X = \{a, b, c\}$ مع المتري $d_X$ المعرَّف كما يأتي: $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
$Y = \{p, q, r\}$ مع المتري $d_Y$ المعرَّف كما يأتي: $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$

ولنعرّف التطبيق التالي:

$$ f(a) = p, \quad f(b) = q, \quad f(c) = r $$

نتحقق الآن من أنه يحافظ على المسافات:

$d_X(a, b) = 1$، و$d_Y(f(a), f(b)) = d_Y(p, q) = 1$.
$d_X(b, c) = 2$، و$d_Y(f(b), f(c)) = d_Y(q, r) = 2$.
$d_X(a, c) = 3$، و$d_Y(f(a), f(c)) = d_Y(p, r) = 3$.

بما أن جميع المسافات بقيت كما هي، فإن التطبيق $f$ يمثل تساويًا قياسيًا. لذلك فإن الفضاءين $X$ و$Y$ متساويا القياس، أي متكافئان متريًا.

مثال ثانٍ

في المستوى، يولّد كل من متري سيارات الأجرة $(d_T)$ والمتري الإقليدي المعتاد $(d)$ الطوبولوجيا نفسها. أي إنهما يحددان المجموعات المفتوحة نفسها.

فهل يعني ذلك أنهما متساويا القياس أيضًا؟

في متري سيارات الأجرة، تُحسب المسافة بين النقطتين $(x_1, y_1)$ و$(x_2, y_2)$ وفق العلاقة:

$$ d_T((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$

ويمثل هذا المتري الحركة داخل شبكة من الشوارع، حيث يكون الانتقال في الاتجاهين الأفقي والرأسي فقط، كما تتحرك سيارة أجرة في مدينة ذات شوارع متعامدة.

أما المتري الإقليدي المعتاد، فيقيس أقصر مسافة مستقيمة بين نقطتين باستخدام الصيغة:

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$

ولنفرض وجود تطبيق $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ يحافظ على المسافات بين هذين الفضاءين. ولننظر إلى النقطتين:

$$ A = (1, 1), \qquad B = (2, 2) $$

مثال يقارن بين متري سيارات الأجرة والمتري الإقليدي

وفقًا لمتري سيارات الأجرة، تكون المسافة بين النقطتين:

$$ d_T((2, 2), (1, 1)) = |2 - 1| + |2 - 1| = 2 $$

أما وفقًا للمتري الإقليدي المعتاد، فإن المسافة تساوي:

$$ d((1, 1), (2, 2)) = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 $$

بما أن المسافتين مختلفتان، فلا يمكن وجود تطبيق يحافظ على جميع المسافات بين هذين الفضاءين. ومن ثم فإن المستوى المزود بمتري سيارات الأجرة ليس متساوي القياس مع المستوى المزود بالمتري الإقليدي المعتاد.

يتضح من هذا المثال أن اشتراك فضاءين في الطوبولوجيا نفسها لا يكفي للحكم بأنهما متساويا القياس. فتساوي القياس يتطلب الحفاظ على المسافات بدقة، وهو شرط أكثر صرامة من مجرد التكافؤ الطوبولوجي.

وينطبق هذا المبدأ على العديد من الفضاءات المترية الأخرى.