المسافة بين المجموعات
المسافة بين مجموعتين \(A\) و\(B\) في فضاء متري \((X, d)\) هي أصغر مسافة يمكن الاقتراب منها بين نقطة تنتمي إلى \(A\) ونقطة تنتمي إلى \(B\). وتُعرَّف رياضيًا بالعلاقة: $$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A,\; b \in B \}. $$ تمثل \(d(a, b)\) المسافة بين النقطتين \(a\) و\(b\) وفقًا للمتري \(d\)، بينما يرمز \(\inf\) (الحد الأدنى) إلى أصغر قيمة يمكن أن تؤول إليها جميع هذه المسافات، حتى لو لم تتحقق فعليًا.
ولحساب المسافة بين مجموعتين، نأخذ جميع الأزواج الممكنة من النقاط، بحيث تكون نقطة من \(A\) والأخرى من \(B\)، ثم نبحث عن أصغر مسافة بينها.
وهذه القيمة هي المسافة بين المجموعتين.
ملاحظة: تعبر المسافة بين المجموعات عن مدى إمكانية اقتراب نقاط المجموعتين من بعضها، لكنها لا تعني بالضرورة أن المجموعتين تتلامسان أو أنهما متطابقتان.
متى تكون المسافة صفرًا؟
إذا كانت \(d(A, B)=0\)، فهذا يعني أن نقاطًا من \(A\) ونقاطًا من \(B\) يمكن أن تقترب من بعضها إلى أي درجة نريدها.
ومع ذلك، لا يعني هذا بالضرورة أن المجموعتين تتلامسان أو تشتركان في نقطة واحدة.
ولهذا قد تكون المسافة مساوية لـ \(0\) حتى إذا كانت المجموعتان منفصلتين، أي:
$$ A \cap B = \emptyset. $$
مثال عملي
لنفترض أن لدينا مجموعتين \(A\) و\(B\) في فضاء متري يتكون من جميع نقاط مستقيم الأعداد، حيث تُعرَّف المسافة بالعلاقة:
$$ d=|x_1-x_2|. $$
فيما يلي ثلاث حالات توضح معنى المسافة بين المجموعات.
A] الحالة الأولى
إذا كانت:
$$ A=\{0\}, \qquad B=[1,2], $$
فإن المسافة بينهما تساوي:
$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}=d(0,1)=1. $$
ويرجع ذلك إلى أن أقرب نقطة في \(B\) إلى النقطة \(0\) هي النقطة \(1\)، وتفصل بينهما وحدة واحدة.
B] الحالة الثانية
إذا كانت:
$$ A=[0,1], \qquad B=[1,2], $$
فإن المسافة بينهما تساوي:
$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}=d(1,1)=0. $$
في هذه الحالة تتلامس المجموعتان عند النقطة \(1\)، ولذلك تكون المسافة بينهما صفرًا.
كما أن المجموعتين ليستا منفصلتين لأن:
$$ A \cap B=\{1\}. $$
C] الحالة الثالثة
إذا كانت:
$$ A=(0,1), \qquad B=(1,2), $$
فإن المسافة بينهما أيضًا تساوي:
$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}=0. $$
ورغم ذلك، فإن المجموعتين منفصلتان لأنهما فترتان مفتوحتان، والنقطة \(1\) لا تنتمي إلى أي منهما.
$$ A \cap B=\emptyset. $$
ويرجع السبب إلى أنه يمكن اختيار نقطة \(a\) من \(A\) تقترب من \(1\) بقدر ما نشاء، كما يمكن اختيار نقطة \(b\) من \(B\) تقترب من \(1\) بالقدر نفسه.
لكن أيًّا من النقطتين لا يستطيع بلوغ \(1\)، لأن كلا الفترتين مفتوح.
وبالتالي:
$$ d(A,B)=\inf\{|a-b|\mid a\in A,\; b\in B\}=|1-1|=0. $$
وهذا يوضح أن المجموعتين، رغم عدم وجود أي نقطة مشتركة بينهما، يمكن أن تحتوي كل منهما على نقاط تقترب من نقاط المجموعة الأخرى اقترابًا غير محدود.
ولهذا تكون المسافة بينهما مساوية للصفر.
ملاحظة: لا يعني كون المسافة بين مجموعتين تساوي \(0\) أنهما متطابقتان أو متلامستان. فتعريف المسافة يعتمد على إمكانية اقتراب النقاط من بعضها إلى أي درجة، وليس على وجود نقطة مشتركة أو تماس مباشر بين المجموعتين.
وينطبق هذا المفهوم على كثير من الحالات الأخرى في الفضاءات المترية.
