المجموعة المحدودة في الطوبولوجيا المترية

في الفضاء المتري $(X, d)$، حيث يرمز $d$ إلى المتري الذي يقيس المسافة بين النقاط، تُسمّى المجموعة الجزئية $A \subseteq X$ مجموعة محدودة إذا وُجد عدد موجب $\mu > 0$ بحيث لا تتجاوز المسافة بين أي نقطتين $x, y \in A$ القيمة $\mu$.

بمعنى آخر، لا يمكن أن تبتعد نقاط المجموعة $A$ عن بعضها البعض إلى ما لا نهاية، بل يوجد حد أعلى ثابت للمسافة بينها.

وإذا كان الفضاء بأكمله $X$ محدودًا بالنسبة إلى المتري $d$، فإننا نقول إن $d$ متري محدود.

أي إن المسافة بين أي نقطتين في الفضاء لا تتجاوز قيمة قصوى ثابتة $\mu$.

ملاحظة: إذا كان المتري $d$ محدودًا، فإن كل مجموعة جزئية من $X$ تكون محدودة تلقائيًا، لأن المسافات داخل أي مجموعة جزئية لا يمكن أن تتجاوز أكبر مسافة ممكنة في الفضاء نفسه.

مثال عملي
محدودية المتري لا تؤثر في الطوبولوجيا

مثال عملي

لنأخذ المستوى الديكارتي $\mathbb{R}^2$ مزوّدًا بالمسافة الإقليدية.

تُحسب المسافة بين النقطتين $(x_1, y_1)$ و$(x_2, y_2)$ وفق العلاقة:

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

ولنعتبر المجموعة الجزئية $A$ المكوّنة من جميع النقاط الواقعة داخل القرص المغلق ذي نصف القطر $10$ والمتمركز عند نقطة الأصل. وتُكتب كما يأتي:

$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$

تكون المجموعة محدودة إذا وُجد عدد موجب $\mu$ بحيث تحقق كل نقطتين في $A$ الشرط:

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) \leq \mu $$

في هذا المثال، تتحقق أكبر مسافة ممكنة عندما تقع النقطتان عند طرفي قطر القرص، مثل $(10,0)$ و$(-10,0)$.

وتكون المسافة بينهما:

$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-20)^2} = 20 $$

إذن فإن أكبر مسافة بين أي نقطتين في المجموعة $A$ هي $20$.

أكبر مسافة داخل المجموعة A

وهذا يعني أنه مهما اخترنا نقطتين داخل القرص، فلن تزيد المسافة بينهما على $20$.

وعليه، فإن المجموعة $A$ مجموعة محدودة، ويمكن اختيار $\mu = 20$، لأن جميع نقاطها تقع ضمن هذه المسافة القصوى، وهي قطر القرص.

محدودية المتري لا تؤثر في الطوبولوجيا

من المهم أن نلاحظ أن كون المتري محدودًا أو غير محدود لا يؤثر في الطوبولوجيا التي يولدها، أي في طريقة تحديد المجموعات المفتوحة والمغلقة.

ما المقصود بالطوبولوجيا؟ الطوبولوجيا هي البنية الرياضية التي تحدد مفهوم المجموعات المفتوحة والمغلقة. وهي تعتمد على العلاقات بين النقاط، لا على القيم العددية الدقيقة للمسافات.

ولهذا السبب، حتى إذا كان المتري غير محدود، فمن الممكن دائمًا إيجاد متري محدود مكافئ له يولد الطوبولوجيا نفسها.

وبعبارة أخرى، فإن محدودية المتري أو عدم محدوديته لا تغيّر المجموعات المفتوحة أو المغلقة في الفضاء.

مثال

لتحويل متري غير محدود إلى متري محدود، يمكن استعمال دالة رياضية «تضغط» المسافات الكبيرة مع الحفاظ على الطوبولوجيا دون تغيير.

ومن أشهر هذه التحويلات:

$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$

كيف يعمل هذا التحويل؟

إذا كانت المسافة $d(x, y)$ صغيرة، فإن القيمة الجديدة $d'(x, y)$ تبقى قريبة جدًا منها.

فعلى سبيل المثال، إذا كانت:

$$ d(x, y) = 1 $$

فإن المتري الجديد يعطي:

$$ d'(x, y) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $$

أما إذا كانت المسافة الأصلية كبيرة جدًا، أي تقترب من اللانهاية، فإن:

$$ d'(x, y) \longrightarrow 1 $$

وبذلك، مهما كانت المسافات الأصلية كبيرة، فإن المتري الجديد يحصر جميع المسافات بين $0$ و$1$.

لنأخذ مثالًا آخر. افترض أن لدينا فضاءً متريًا $(X, d)$ حيث تُعرَّف المسافة بالعلاقة:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

وهي المسافة الإقليدية القياسية على المستقيم الحقيقي.

هذا المتري غير محدود، لأن المسافة بين نقطتين يمكن أن تكبر دون حد.

بعد تطبيق التحويل نحصل على:

$$ d'(x, y) = \frac{|x - y|}{1 + |x - y|} $$

إذا كان $x = 1$ و$y = 2$، فإن:

$$ d(1,2)=1 \qquad\Longrightarrow\qquad d'(1,2)=0.5 $$

أما إذا كان $x = 1$ و$y = 1000$، فإن:

$$ d(1,1000)=999 \qquad\Longrightarrow\qquad d'(1,1000)=0.999 $$

وهكذا تصبح جميع المسافات محصورة ضمن المجال من $0$ إلى $1$، مع بقاء الطوبولوجيا كما هي، لأن المتريين $d$ و$d'$ يحددان المجموعات المفتوحة والمغلقة نفسها.

وهكذا.