أساس للطوبولوجيا المترية

في الفضاء المتري \((X,d)\)، تُشكِّل عائلة جميع الكرات المفتوحة $$ \mathcal{B}=\{B_d(x,\varepsilon)\mid x\in X,\ \varepsilon>0\} $$ أساسًا لطوبولوجيا على \(X\). وتُعرف الطوبولوجيا الناتجة عن هذه العائلة باسم الطوبولوجيا المترية.

تمثل هذه النتيجة إحدى الأفكار المحورية في الطوبولوجيا، لأنها توضح كيف ترتبط الفضاءات المترية بالبنية الطوبولوجية. فكل مجموعة مفتوحة في فضاء متري يمكن بناؤها باستخدام الكرات المفتوحة، ولذلك تُعد هذه الكرات العناصر الأساسية التي تُشتق منها جميع المجموعات المفتوحة.

وتكون العائلة \(\mathcal{B}\) أساسًا لطوبولوجيا إذا أمكن كتابة كل مجموعة مفتوحة على أنها اتحاد لعناصر تنتمي إلى \(\mathcal{B}\).

ولكي تكون العائلة أساسًا، يجب أن تحقق الشرطين الآتيين:

1. خاصية التغطية. يجب أن تنتمي كل نقطة \(x\in X\) إلى عنصر واحد على الأقل من عناصر الأساس.
2. خاصية التقاطع. إذا كانت نقطة \(x\) تنتمي إلى تقاطع عنصرين من عناصر الأساس، فيجب أن يوجد عنصر ثالث من عناصر الأساس يحتوي على \(x\) ويقع بالكامل داخل ذلك التقاطع.

وتثبت النظرية أن عائلة جميع الكرات المفتوحة تحقق هذين الشرطين، ولذلك فإنها تولِّد الطوبولوجيا المترية.

نذكِّر بأن الكرة المفتوحة ذات المركز \(x\) ونصف القطر \(\varepsilon>0\) تُعرَّف كما يأتي: $$ B_d(x,\varepsilon)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon\}. $$ أي إنها تضم جميع النقاط التي تكون المسافة بينها وبين \(x\) أقل من \(\varepsilon\).

ومن الناحية الهندسية، يمكن تشبيه الكرات المفتوحة بلبنات البناء، إذ تتجمع معًا لتكوين جميع المجموعات المفتوحة في الفضاء المتري.

مثال

لننظر إلى المجموعة الآتية في المستوى \(\mathbb{R}^2\):

$$ A=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid 1<\sqrt{x_1^2+x_2^2}<2\}. $$

تضم هذه المجموعة جميع النقاط التي تقع على مسافة أكبر من 1 وأصغر من 2 من نقطة الأصل.

ومن الناحية الهندسية، تمثل حلقة دائرية، أي المنطقة الواقعة بين دائرتين متحدتي المركز نصفي قطريهما 1 و2.

ولأن الدائرتين غير داخلتين في المجموعة، فإن \(A\) مجموعة مفتوحة.

هل يمكن كتابة هذه الحلقة الدائرية على أنها اتحاد لكرات مفتوحة؟

تؤكد نظرية الأساس أن ذلك ممكن.

اختر أي نقطة داخل الحلقة الدائرية، ثم ارسم حولها كرة مفتوحة بنصف قطر صغير بما يكفي لكي تبقى الكرة بأكملها داخل المجموعة.

على سبيل المثال، لنأخذ النقطة \(p_1=(1.5,0)\) ونصف القطر \(\varepsilon_1=0.3\):

$$ B_d((1.5,0),0.3)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid d((1.5,0),(x_1,x_2))<0.3\}. $$

تقع هذه الكرة المفتوحة بالكامل داخل الحلقة الدائرية.

ولنأخذ نقطة أخرى هي \(p_2=(-1.5,0)\)، مع نصف القطر \(\varepsilon_2=0.4\):

$$ B_d((-1.5,0),0.4)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid d((-1.5,0),(x_1,x_2))<0.4\}. $$

وهذه الكرة أيضًا تقع بالكامل داخل الحلقة الدائرية.

وبتكرار هذه العملية، يمكن توزيع كرات مفتوحة في جميع أنحاء الحلقة الدائرية مع اختيار أنصاف أقطار مناسبة تمنعها من تجاوز الحدود.

وفي النهاية، تغطي هذه الكرات جميع نقاط المجموعة \(A\).

وبالصيغة الرياضية:

$$ A=\bigcup_i B_d(x_i,\varepsilon_i). $$

حيث يقع كل مركز \(x_i\) داخل الحلقة الدائرية، ويُختار كل نصف قطر \(\varepsilon_i\) بحيث يتحقق:

$$ B_d(x_i,\varepsilon_i)\subseteq A. $$

ويجسد هذا المثال الفكرة الأساسية للنظرية: كل مجموعة مفتوحة في فضاء متري يمكن التعبير عنها بوصفها اتحادًا لكرات مفتوحة.

ولهذا السبب تُعد الكرات المفتوحة اللبنات الأساسية للطوبولوجيا المترية.

البرهان

سنبرهن الآن أن عائلة جميع الكرات المفتوحة في الفضاء المتري \((X,d)\) تُشكِّل أساسًا لطوبولوجيا على \(X\).

ويكفي التحقق من خاصيتي الأساس.

كل نقطة تنتمي إلى عنصر من عناصر الأساس

لتكن \(x\in X\).

لكل نصف قطر \(\varepsilon>0\)، تكون الكرة المفتوحة \(B_d(x,\varepsilon)\) عنصرًا في العائلة \(\mathcal{B}\).

كما أن:

$$ d(x,x)=0<\varepsilon, $$

ومن ثم فإن \(x\in B_d(x,\varepsilon)\).

وبذلك تنتمي كل نقطة في \(X\) إلى كرة مفتوحة واحدة على الأقل، فتتحقق خاصية التغطية.

خاصية التقاطع

لتكن \(B_1\) و\(B_2\) كرتين مفتوحتين، ولنفترض أن:

$$ x\in B_1\cap B_2. $$

نريد إثبات وجود كرة مفتوحة مركزها \(x\) ومحتواة بالكامل داخل هذا التقاطع.

بما أن \(x\in B_1\)، فهناك نصف قطر \(\delta_1>0\) بحيث:

$$ B_d(x,\delta_1)\subseteq B_1. $$

وبالمثل، بما أن \(x\in B_2\)، فهناك نصف قطر \(\delta_2>0\) بحيث:

$$ B_d(x,\delta_2)\subseteq B_2. $$

نختار الآن أصغر نصفي القطرين:

$$ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. $$

وعندئذ تكون كل نقطة من \(B_d(x,\delta)\) منتمية إلى كل من \(B_1\) و\(B_2\)، وبالتالي:

$$ B_d(x,\delta)\subseteq B_1\cap B_2. $$

وهكذا تتحقق خاصية التقاطع.

وبما أن خاصيتي الأساس متوافرتان، فإن عائلة جميع الكرات المفتوحة تُشكِّل أساسًا لطوبولوجيا على \(X\).

وهذه هي بالتحديد الطوبولوجيا المترية المستحثة بالمتري \(d\).