الفضاء الطوبولوجي القابل للمترية

يُسمّى الفضاء الطوبولوجي $ X $ قابلًا للمترية إذا أمكن تعريف مترية $ d $ عليه تستحث الطوبولوجيا نفسها المعرفة على $ X $.

المترية $ d $ على المجموعة $ X $ هي دالة $ d: X \times X \to [0, \infty) $ تحقق الخصائص الأساسية الآتية: عدم السلبية، والتناظر، ومتباينة المثلث، وشرط التمييز، أي إن $ d(x, y) = 0 $ إذا وفقط إذا كان $ x = y $.

أما الطوبولوجيا المستحثة بالمترية $ d $، فتُعرَّف بحيث تكون جميع المجموعات المفتوحة اتحادات اعتباطية لكرات مفتوحة من الشكل $ B_r(x) = \{y \in X : d(x, y) < r\} $، حيث $ r > 0 $ هو نصف القطر.

وبعبارة أخرى، يكون الفضاء الطوبولوجي $ X $ قابلًا للمترية إذا وُجدت مترية $ d $ تجعل الطوبولوجيا المتولدة عن الكرات المفتوحة مطابقة تمامًا للطوبولوجيا الأصلية للفضاء.

ملاحظة: وهذا يعني أن كل مجموعة مفتوحة في طوبولوجيا $ X $ يمكن التعبير عنها بوصفها اتحادًا اعتباطيًا لكرات مفتوحة تحددها المترية $ d $.

ومن النتائج الأساسية في الطوبولوجيا أن أي طوبولوجيا غير هاوسدورفية لا يمكن أن تستحثها مترية. لذلك، ليست جميع الفضاءات الطوبولوجية قابلة للمترية.

مثال تطبيقي
ملاحظات

مثال تطبيقي

لنأخذ المستقيم الحقيقي $ \mathbb{R} $ مزودًا بطوبولوجياه المعتادة.

في هذه الطوبولوجيا، تكون المجموعات المفتوحة اتحادات اعتباطية لفترات مفتوحة $ (a, b) $، حيث $ a, b \in \mathbb{R} $ و$ a < b $.

نعرّف المترية المعتادة على المستقيم الحقيقي كما يأتي:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

وتمثل هذه الصيغة المسافة المطلقة بين النقطتين $ x $ و$ y $.

وبالنسبة إلى هذه المترية، فإن الكرة المفتوحة ذات المركز $ x $ ونصف القطر $ r $ هي الفترة المفتوحة:

$$ B_r(x) = \{ y \in \mathbb{R} : d(x, y) < r \} = (x - r, x + r) $$

وهذه الفترة مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا المعتادة.

ولأن كل مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا المعتادة على $ \mathbb{R} $ يمكن كتابتها على هيئة اتحاد لفترات مفتوحة، وهذه الفترات ليست سوى الكرات المفتوحة التي تولدها المترية $ d(x, y) $، فإن المستقيم الحقيقي $ \mathbb{R} $، بطوبولوجياه المعتادة، يُعد فضاءً قابلًا للمترية.

المثال الثاني

لنعتبر أي مجموعة $ X $، سواء أكانت منتهية أم غير منتهية، مزودة بـ الطوبولوجيا المتقطعة.

في هذه الطوبولوجيا، تكون كل مجموعة جزئية من $ X $ مجموعة مفتوحة.

نعرّف المترية الآتية على $ X $:

$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0 & \text{إذا كان } x = y, \\
1 & \text{إذا كان } x \neq y.
\end{cases}
$$

وتُعرف هذه باسم المترية المتقطعة.

لنرَ الآن لماذا يكون هذا الفضاء قابلًا للمترية.

وفقًا لهذه المترية، تكون الكرة المفتوحة ذات المركز $ x $ ونصف القطر $ r $ كما يأتي:

إذا كان $ r \leq 1 $، فإن $ B_r(x) = \{ x \} $.
التوضيح: عندما يكون $ r \leq 1 $، فإن القيمة الوحيدة التي تحقق الشرط $ d(x, y) < r $ هي $ d(x, y) = 0 $، ولا يحدث ذلك إلا إذا كان $ y = x $. لذلك تتكون الكرة المفتوحة من النقطة المركزية وحدها.
إذا كان $ r > 1 $، فإن $ B_r(x) = X $.
التوضيح: عندما يكون $ r > 1 $، فإن كلتا القيمتين $ d(x, y) = 0 $ و$ d(x, y) = 1 $ تحققان الشرط $ d(x, y) < r $. ومن ثم تنتمي جميع عناصر $ X $ إلى الكرة المفتوحة، فتكون $ B_r(x) = X $.

وكل من المجموعتين $ \{ x \} $ و$ X $ مفتوح في الطوبولوجيا المتقطعة.

وبما أن أي مجموعة مفتوحة في هذه الطوبولوجيا يمكن التعبير عنها على أنها اتحاد لكرات مفتوحة من هذا النوع، فإن المجموعة $ X $، المزودة بالطوبولوجيا المتقطعة، تشكل فضاءً قابلًا للمترية.

يوضح هذا المثال كيف تصف المترية الطوبولوجيا بدقة، بحيث تنتج المجموعات المفتوحة نفسها دون أي اختلاف.

ملاحظات

فيما يلي بعض النتائج المهمة المتعلقة بالفضاءات القابلة للمترية:

إذا كان الفضاء الطوبولوجي $ X $ قابلًا للمترية، وكان الفضاء $ Y $ متشاكلًا طوبولوجيًا مع $ X $، فإن $ Y $ يكون قابلًا للمترية أيضًا.
تنص هذه المبرهنة على أن قابلية المترية خاصية طوبولوجية محفوظة تحت التشاكلات الطوبولوجية. ولذلك، إذا كان الفضاء $ Y $ متشاكلًا طوبولوجيًا مع فضاء قابل للمترية، فلا حاجة إلى بناء مترية عليه بصورة صريحة، إذ يمكن الجزم مباشرة بأنه قابل للمترية.
مبرهنة أوريسون للمترية
تنص هذه المبرهنة على أن الفضاء الطوبولوجي يكون قابلًا للمترية إذا كان منتظمًا وله قاعدة قابلة للعد. وتُعد هذه النتيجة من أهم المعايير المستخدمة لتحديد ما إذا كان يمكن تزويد فضاء طوبولوجي معين بمترية تستحث طوبولوجياه.

وهكذا.