كل فضاء متري فضاءُ هاوسدورف

كل فضاء متري فضاءُ هاوسدورف. لذلك، إذا لم يكن الفضاء الطوبولوجي فضاء هاوسدورف، فلا يمكن أن تكون طوبولوجيته مستحثة من أي متري.

تُعد خاصية فضاء هاوسدورف من الخصائص الأساسية في علم الطوبولوجيا، إذ تنص على أنه لكل نقطتين متميزتين في الفضاء يوجد جواران مفتوحان منفصلان، يحتوي كل منهما على إحدى النقطتين.

وبعبارة أبسط، إذا كان لدينا فضاء متري، أي فضاء تُعرَّف فيه المسافات بين النقاط تعريفًا دقيقًا، فإنه يمكن دائمًا فصل أي نقطتين مختلفتين باستخدام مجموعتين مفتوحتين لا تتقاطعان.

ملاحظة. يجب أن تتحقق خاصية هاوسدورف لكل زوج من النقاط المتميزة في الفضاء، وليس لبعض الأزواج فقط.

مثال عملي
البرهان

مثال عملي

لنعتبر المستوى الإقليدي $\mathbb{R}^2$ مزودًا بالمسافة الإقليدية المعتادة، ويرمز إليها بـ $d(x,y)$، حيث إن $x=(x_1,x_2)$ و$y=(y_1,y_2)$ نقطتان في المستوى. وتُعرَّف المسافة بينهما كما يأتي:

$$ d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}. $$

يمثل $\mathbb{R}^2$ مع هذه المسافة مثالًا كلاسيكيًا على الفضاءات المترية.

ولإثبات أنه فضاء هاوسدورف، لنأخذ نقطتين مختلفتين $A$ و$B$.

بما أن النقطتين مختلفتان، فإن المسافة بينهما موجبة:

$$ d(A,B)>0. $$

نختار نصف قطر يساوي نصف هذه المسافة:

$$ r=\frac{d(A,B)}{2}. $$

ثم نرسم قرصين مفتوحين:

\(U=\{P\in\mathbb{R}^2:d(P,A)
\(V=\{P\in\mathbb{R}^2:d(P,B)

وبما أن نصف قطر كل قرص يساوي نصف المسافة بين المركزين، فإن القرصين لا يتداخلان:

$$ U\cap V=\varnothing. $$

ولو وُجدت نقطة مشتركة بينهما، لأصبحت المسافة بين $A$ و$B$ أصغر من مجموع نصفي القطرين، وهو ما يناقض تعريف $r$.

وبما أن هذا الاستدلال ينطبق على أي نقطتين مختلفتين في $\mathbb{R}^2$، فإن المستوى الإقليدي يحقق خاصية هاوسدورف.

إذن فإن $\mathbb{R}^2$ فضاء هاوسدورف.

المثال الثاني

لننظر الآن إلى مثال لا تتحقق فيه خاصية هاوسدورف.

لنعتبر مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ مزودة بطوبولوجيا المتمم المنتهي.

في هذه الطوبولوجيا تكون المجموعة $U\subseteq\mathbb{R}$ مفتوحة إذا كانت فارغة، أو إذا كان متممها $\mathbb{R}\setminus U$ مجموعة منتهية، أي تحتوي على عدد محدود فقط من العناصر.

وبصيغة أخرى، تكون المجموعة المفتوحة مجموعة تضم جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا، ولا تستثني إلا عددًا محدودًا منها.

لنأخذ نقطتين مختلفتين $x,y\in\mathbb{R}$، ولنحاول فصلهما بمجموعتين مفتوحتين منفصلتين.

لتكن $U$ مجموعة مفتوحة تحتوي على $x$، ولتكن $V$ مجموعة مفتوحة تحتوي على $y$.

بما أن كلًا من $U$ و$V$ يحتوي على جميع نقاط $\mathbb{R}$ تقريبًا، فإن تقاطعهما لا يمكن أن يكون فارغًا. ففي الواقع، لا بد أن يشتركا في عدد لا نهائي من النقاط.

ملاحظة. لنأخذ مثلًا $x=1$ و$y=2$.

لتكن $$ U=\mathbb{R}\setminus\{2,3,4\}. $$ فهذه مجموعة مفتوحة لأنها تستثني عددًا محدودًا فقط من العناصر.
ولتكن $$ V=\mathbb{R}\setminus\{1,5,6\}. $$ وهي أيضًا مجموعة مفتوحة للسبب نفسه.

وعند حساب التقاطع نحصل على:

$$ U\cap V=\mathbb{R}\setminus\{1,2,3,4,5,6\}\neq\emptyset. $$

ولا يزال هذا التقاطع يحتوي على عدد لا نهائي من الأعداد الحقيقية. لذلك يستحيل إيجاد مجموعتين مفتوحتين منفصلتين تفصلان بين النقطتين $1$ و$2$.

وعليه فإن الفضاء $(\mathbb{R},\text{طوبولوجيا المتمم المنتهي})$ ليس فضاء هاوسدورف.

وبالتالي، لا يمكن أن تكون هذه الطوبولوجيا مستحثة من أي متري.

البرهان

لنعتبر نقطتين متميزتين $x$ و$y$ في فضاء متري $(X,d)$.

بما أن النقطتين مختلفتان، فإن المسافة بينهما موجبة. لنضع:

$$ \varepsilon=d(x,y)>0. $$

ننشئ كرتين مفتوحتين نصف قطر كل منهما $\varepsilon/2$:

$U$ هي الكرة المفتوحة مركزها $x$.
$V$ هي الكرة المفتوحة مركزها $y$.

سنبرهن أن هاتين الكرتين لا تتقاطعان.

لنفترض، على سبيل التناقض، وجود نقطة $z$ تنتمي إلى كل من $U$ و$V$. وعندئذٍ يكون:

$d(x,z)<\varepsilon/2$.
$d(z,y)<\varepsilon/2$.

وباستخدام متباينة المثلث نحصل على:

$$ d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. $$

لكن هذا يناقض حقيقة أن $d(x,y)=\varepsilon$.

إذن لا توجد أي نقطة مشتركة بين $U$ و$V$، أي:

$$ U\cap V=\varnothing. $$

وبذلك يتبين أنه يمكن دائمًا فصل أي نقطتين مختلفتين في فضاء متري بواسطة مجموعتين مفتوحتين منفصلتين.

وهذا يثبت أن كل فضاء متري هو فضاء هاوسدورف.

وهكذا دواليك.