度量空间：可度量化与同胚不变性

设拓扑空间 \( X \) 是可度量化的。如果拓扑空间 \( Y \) 与 \( X \) 同胚，那么 \( Y \) 也一定是可度量化的。

换句话说，可度量化是一个同胚不变量。只要两个拓扑空间同胚，它们在是否可度量化这一性质上就完全一致。

因此，如果已经知道空间 \( X \) 是可度量化的，而另一个空间 \( Y \) 与 \( X \) 同胚，那么无需再为 \( Y \) 单独构造度量，可以直接得出结论：\( Y \) 也是可度量化空间。

为什么会这样？

一个拓扑空间称为可度量化空间，是指存在一个度量 \( d \)，使它所诱导出的拓扑与该空间原有的拓扑完全一致。换句话说，这个空间的拓扑结构可以完全用一个度量来描述。

另一方面，同胚映射是两个拓扑空间之间的双射，并且映射及其逆映射都连续。如果两个空间之间存在同胚映射，就称它们同胚。

从拓扑学的角度来看，同胚意味着两个空间虽然外观可能不同，但拓扑结构完全相同。因此，所有只依赖于拓扑结构的性质都会被保留下来，例如连通性、紧致性以及可度量化。

设 \( f:X\to Y \) 是一个同胚映射，并且 \( d \) 是诱导 \( X \) 拓扑的度量。那么，可以在 \( Y \) 上定义新的度量

\[ \rho(y_1,y_2)=d\bigl(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2)\bigr). \]

由于 \( f \) 是双射，上式定义是良定义的。进一步可以验证，\( \rho \) 满足度量的全部公理，因此它确实是 \( Y \) 上的一个度量。

更重要的是，由 \( \rho \) 诱导出的拓扑恰好就是 \( Y \) 原来的拓扑。因此，\( Y \) 同样是可度量化空间。

实际上，根据这个定义，映射

\[ f:(X,d)\to(Y,\rho) \]

保持任意两点之间的距离，因此它还是一个等距映射。这进一步说明，两个空间不仅拓扑等价，而且在适当选择度量后，还具有完全对应的度量结构。

考虑具有通常拓扑的实数轴 \( \mathbb{R} \) 与开区间 \( (-1,1) \)。

实数轴的通常拓扑由欧氏度量

\[ d(x_1,x_2)=|x_1-x_2| \]

诱导，因此 \( \mathbb{R} \) 是可度量化空间。

现在定义函数

\[ f:\mathbb{R}\to(-1,1),\qquad f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}. \]

这个函数把整条实数轴连续地压缩到开区间 \( (-1,1) \) 中，同时保持一一对应，其逆函数同样连续：

\[ f^{-1}(y)=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}},\qquad y\in(-1,1). \]

因此，\( f \) 是一个同胚映射，说明 \( \mathbb{R} \) 与 \( (-1,1) \) 在拓扑意义上完全等价。

既然 \( \mathbb{R} \) 是可度量化空间，而可度量化在同胚映射下保持不变，那么 \( (-1,1) \) 也必然是可度量化空间。

事实上，作为 \( \mathbb{R} \) 的子空间，开区间 \( (-1,1) \) 的通常拓扑本身就是由欧氏度量

\[ d(y_1,y_2)=|y_1-y_2| \]

诱导得到的。

可度量化是拓扑空间的一种基本性质，并且它在同胚映射下保持不变。因此，在研究一个拓扑空间时，如果能够证明它与某个已知可度量化的空间同胚，就可以立即断定它也是可度量化的，而无需重新构造度量。这一结论在拓扑学和度量空间理论中具有重要的理论价值和实际应用。