度量诱导拓扑的比较定理

设 \(d\) 与 \(d'\) 是集合 \(X\) 上的两个度量，由它们诱导出的拓扑分别记为 \(\mathcal{T}\) 与 \(\mathcal{T}'\)。那么，\(\mathcal{T}'\) 比 \(\mathcal{T}\) 更细，当且仅当对任意 \(x \in X\) 和任意 \(\varepsilon > 0\)，都存在某个 \(\delta > 0\)，使得： $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$ 其中，\(B_d(x,\varepsilon)\) 与 \(B_{d'}(x,\delta)\) 分别表示在度量 \(d\) 与 \(d'\) 下，以 \(x\) 为中心、半径分别为 \(\varepsilon\) 与 \(\delta\) 的开球。

这个定理给出了比较两个度量拓扑的一种简单而实用的方法。与其直接比较两个拓扑中的所有开集，不如比较它们对应的开球是否满足包含关系。这样不仅更容易操作，也更符合度量空间的研究思路。

设集合 \(X\) 上定义了两种不同的度量：

• 由度量 \(d\) 诱导的拓扑 \(\mathcal{T}\)
• 由度量 \(d'\) 诱导的拓扑 \(\mathcal{T}'\)

定理说明：\(\mathcal{T}'\) 比 \(\mathcal{T}\) 更细，当且仅当对于任意一个 \(d\)-开球，都能找到一个以同一中心点为中心、半径足够小的 \(d'\)-开球，并且它完全包含在该 \(d\)-开球内。

因此，判断两个度量诱导的拓扑谁更细，只需要检查局部开球之间是否满足这一包含关系，而无需逐一比较所有开集。

例子

下面利用一个经典例子说明这一结论。

设 \(X=\mathbb{R}^2\)，即二维笛卡尔平面，并在其上定义以下两种度量。

• 欧几里得度量： $$ d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $$ 在这种度量下，开球就是通常意义上的圆盘： $$ B_d((x,y),\varepsilon)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{(u-x)^2+(v-y)^2}<\varepsilon\} $$
• 离散度量： $$ d'((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\begin{cases}0,&\text{若 }(x_1,y_1)=(x_2,y_2),\\1,&\text{若 }(x_1,y_1)\neq(x_2,y_2).\end{cases} $$ 对应的开球为： $$ B_{d'}((x,y),\delta)=\begin{cases}\{(x,y)\},&0<\delta\le1,\\X,&\delta>1.\end{cases} $$

我们的目标是证明：离散拓扑比欧几里得拓扑更细。

根据定理，只需验证：

$$ \forall x\in X,\ \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\quad B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

任取一点 \(P=(x_0,y_0)\)，以及任意一个半径 \(\varepsilon>0\)。在欧几里得度量下，\(B_d(P,\varepsilon)\) 是一个以 \(P\) 为中心、半径为 \(\varepsilon\) 的圆盘。

再来看离散度量下的开球：

• 当 \(0<\delta\le1\) 时，\(B_{d'}(P,\delta)=\{P\}\)；
• 当 \(\delta>1\) 时，\(B_{d'}(P,\delta)=X\)。

由于离散拓扑中的每一个单点集都是开集，因此取 \(\delta=1\) 时，有：

$$ B_{d'}(P,1)=\{P\}. $$

显然，点 \(P\) 一定位于欧几里得开球 \(B_d(P,\varepsilon)\) 内，因此：

$$ \{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon). $$

于是，对任意点 \(P\) 和任意 \(\varepsilon>0\)，都可以取 \(\delta=1\)，满足：

$$ B_{d'}(P,\delta)\subseteq B_d(P,\varepsilon). $$

例如，取点 \(P=(1,2)\in\mathbb{R}^2\)。在欧几里得拓扑中，以 \(P\) 为中心、半径为 \(\varepsilon=0.4\) 的开球是一个圆盘。

另一方面，在离散拓扑中，单点集 \(\{P\}\) 本身就是开集。由于点 \(P\) 位于圆盘内部，因此有 \(\{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon)\)。对于平面上的任意一点，同样的结论都成立。因此，每一个欧几里得开球都包含一个离散拓扑中的开集，从而满足定理的条件。

由此可以得出结论：离散拓扑确实比欧几里得拓扑更细。这是因为对任意一点和任意欧几里得开球，总能找到一个足够小的离散度量开球（这里取 \(\delta=1\) 即可），并且它完全包含在对应的欧几里得开球内。

证明

下面分别证明定理的两个方向。

A] 必要性

假设 \(\mathcal{T}'\) 比 \(\mathcal{T}\) 更细，证明对于任意 \(x\in X\) 和任意 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(\delta>0\)，使得：

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

1. 由更细拓扑的定义可知，\(\mathcal{T}\subseteq\mathcal{T}'\)。因此，凡是 \(\mathcal{T}\) 中的开集，也都是 \(\mathcal{T}'\) 中的开集。
2. 固定任意 \(x\in X\) 和任意 \(\varepsilon>0\)。开球 \(B_d(x,\varepsilon)\) 是 \(\mathcal{T}\) 中的开集，因此也是 \(\mathcal{T}'\) 中的开集。
3. 由于 \(x\in B_d(x,\varepsilon)\)，根据度量拓扑中开集的定义，存在某个 \(\delta>0\)，使得：

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

因此，必要性得证。

B] 充分性

现在反过来假设：对于任意 \(x\in X\) 和任意 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(\delta>0\)，满足：

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

证明 \(\mathcal{T}'\) 比 \(\mathcal{T}\) 更细。

1. 任取 \(\mathcal{T}\) 中的一个开集 \(U\)。
2. 任取一点 \(x\in U\)。由于 \(U\) 是开集，因此存在某个 \(\varepsilon>0\)，使得：

$$ B_d(x,\varepsilon)\subseteq U. $$

3. 根据假设，存在 \(\delta>0\)，使得：

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

于是立即得到：

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)\subseteq U. $$

因此，\(U\) 中每一个点都拥有一个完全包含于 \(U\) 内的 \(d'\)-开球。这说明 \(U\) 在拓扑 \(\mathcal{T}'\) 中也是开集。

由于 \(U\) 是 \(\mathcal{T}\) 中任意选取的开集，因此：

$$ \mathcal{T}\subseteq\mathcal{T}'. $$

也就是说，\(\mathcal{T}'\) 比 \(\mathcal{T}\) 更细。

综上，定理的两个方向均已证明，因此命题成立。

证毕。