有界度量定理

在度量空间 \( (X, d) \) 中，可以定义一个新的有界度量

$$ d'(x, y)=\min(d(x, y),1) $$

虽然新的度量将所有大于 1 的距离都截断为 1，但它与原度量 \( d \) 诱导出完全相同的拓扑。换句话说，两种度量所定义的开集完全一致。

也就是说，新的度量只改变了较远点之间的距离数值，而不会影响空间的局部结构。因此，从拓扑的角度来看，两个度量是等价的。

说明：更一般地，可以把常数 \(1\) 替换为任意正数 \(\varepsilon>0\)： $$ d'(x,y)=\min(d(x,y),\varepsilon) $$ 无论取哪一个正数 \(\varepsilon\)，所得的新度量都会诱导出与原度量相同的拓扑。为了便于说明，下文统一取 \(\varepsilon=1\)。

一个具体例子

以实数集 \( \mathbb{R} \) 为例，采用通常度量：

$$ d(x,y)=|x-y| $$

定义新的有界度量：

$$ d'(x,y)=\min(|x-y|,1) $$

在这个新度量下，任意两点之间的距离都不会超过 1。

例如，当 \(x=2\)、\(y=5\) 时，原度量给出的距离为 \(d(2,5)=3\)，而新的度量得到 \(d'(2,5)=1\)。

当 \(x=2\)、\(y=2.5\) 时，有 \(d'(2,2.5)=0.5\)。由于原来的距离本来就小于 1，因此不会发生变化，此时两种度量完全一致。

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$

可以看到，新的度量只截断较大的距离，而较小的距离保持不变。因此，它不会改变点之间的局部邻近关系。

为什么拓扑保持不变？

拓扑关注的是点与点之间的局部邻域，而不是远距离点之间的具体距离。

在度量空间中，每个开集都可以表示为若干开球的并。

当开球半径满足 \(r\le1\) 时，两种度量产生的开球完全相同：

$$ B_d(x,r)=B_{d'}(x,r) $$

因此，所有局部邻域都保持不变，而拓扑正是由这些局部邻域决定的。

下面通过一个例子来说明这一点。

考虑通常度量下，以点 \(3\) 为中心、半径为 \(2\) 的开球：

$$ B_d(3,2)=\{y\in\mathbb R\mid d(3,y)<2\} $$

由于 \(d(x,y)=|x-y|\)，因此有：

$$ |3-y|<2 $$

整理可得：

$$ -2<3-y<2 $$

$$ -5<-y<-1 $$

$$ 1

因此：

$$ B_d(3,2)=(1,5) $$

也就是说，该开球就是实数轴上的开区间 \( (1,5) \)。

如果改用有界度量，可以利用多个较小的开球覆盖同一个区间。例如：

$$ B_{d'}(2,1)\cup B_{d'}(3,1)\cup B_{d'}(4,1) $$

其中：

$$ B_{d'}(2,1)=(1,3) $$

$$ B_{d'}(3,1)=(2,4) $$

$$ B_{d'}(4,1)=(3,5) $$

这三个开球的并正好覆盖整个区间 \( (1,5) \)。

由此可以看出，即使较大的距离被截断，所有开集依然能够由新的开球构造出来。因此，两种度量诱导出的拓扑完全相同。

证明

为了证明 \(d'\) 与 \(d\) 诱导相同的拓扑，首先需要验证 \(d'\) 本身确实是一个度量。

它必须满足以下四个基本性质：

• \(d'(x,y)\ge0\)；
• \(d'(x,y)=0\) 当且仅当 \(x=y\)；
• \(d'(x,y)=d'(y,x)\)；
• 满足三角不等式。

前三条性质直接继承自原度量 \(d\)。

下面证明两种度量诱导出的拓扑相同。

设 \(T\) 为度量 \(d\) 诱导的拓扑，\(T'\) 为度量 \(d'\) 诱导的拓扑。

只需证明：

• \(T\subseteq T'\)；
• \(T'\subseteq T\)。

A] 证明 \(T\subseteq T'\)

任取 \(U\in T\)。

由于 \(U\) 是开集，对于任意 \(x\in U\)，都存在半径 \(r>0\)，使得：

$$ B_d(x,r)\subseteq U $$

令：

$$ \rho=\min(r,1) $$

则：

$$ B_{d'}(x,\rho)=B_d(x,\rho) $$

因此：

$$ B_{d'}(x,\rho)\subseteq U $$

说明 \(U\) 同时也是 \(d'\)-开集，所以：

$$ T\subseteq T' $$

B] 证明 \(T'\subseteq T\)

反过来，任取 \(V\in T'\)。

对于任意 \(x\in V\)，存在 \(r>0\)，使得：

$$ B_{d'}(x,r)\subseteq V $$

同样令：

$$ \rho=\min(r,1) $$

于是：

$$ B_d(x,\rho)=B_{d'}(x,\rho) $$

因此：

$$ B_d(x,\rho)\subseteq V $$

说明 \(V\) 也是 \(d\)-开集，从而得到：

$$ T'\subseteq T $$

结论

由于已经证明

$$ T\subseteq T' \qquad\text{且}\qquad T'\subseteq T $$

因此：

$$ T=T' $$

这说明，有界度量

$$ d'(x,y)=\min(d(x,y),1) $$

与原度量 \(d\) 虽然在距离数值上有所不同，但它们诱导出的拓扑完全一致。