Метризуемость и гомеоморфизмы

Если топологическое пространство \( X \) метризуемо, а пространство \( Y \) гомеоморфно пространству \( X \), то пространство \( Y \) также метризуемо.

Иными словами, метризуемость является топологическим свойством, которое сохраняется при гомеоморфизмах.

Это означает, что всякое пространство, гомеоморфное метризуемому, также является метризуемым.

Поэтому, если уже известно, что пространство \( X \) метризуемо, а затем оказывается, что некоторое пространство \( Y \) гомеоморфно \( X \), нет необходимости заново искать для \( Y \) подходящую метрику. Достаточно воспользоваться этим свойством и сразу сделать вывод, что пространство \( Y \) также метризуемо.

Почему это так?

Топологическое пространство \( X \) называется метризуемым, если существует метрика \( d \), порождающая его топологию. Иначе говоря, все открытые множества пространства можно описать с помощью расстояния, задаваемого этой метрикой.

Гомеоморфизм между топологическими пространствами \( X \) и \( Y \) представляет собой биективное непрерывное отображение, обратное к которому также непрерывно. Если между двумя пространствами существует гомеоморфизм, то они имеют одну и ту же топологическую структуру, несмотря на возможные различия в их геометрическом представлении.

Предположим, что отображение \( f : X \to Y \) является гомеоморфизмом, а топология пространства \( X \) порождена метрикой \( d \). Тогда на пространстве \( Y \) можно определить новую метрику:

\[ \rho(y_1,y_2)=d\bigl(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2)\bigr). \]

Эта метрика порождает топологию пространства \( Y \). Следовательно, существование гомеоморфизма позволяет перенести метрическую структуру с одного пространства на другое.

Именно поэтому метризуемость считается топологическим инвариантом: если два пространства гомеоморфны, то они либо оба метризуемы, либо оба неметризуемы.

Пример

Рассмотрим вещественную прямую \( \mathbb{R} \) со стандартной топологией, порождённой евклидовой метрикой, и открытый интервал \( (-1,1) \).

Пространство \( \mathbb{R} \) метризуемо относительно евклидовой метрики

\[ d(x,y)=|x-y|. \]

Определим отображение

\[ f:\mathbb{R}\to(-1,1), \qquad f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}. \]

Это отображение является гомеоморфизмом: оно биективно, непрерывно, и его обратное отображение также непрерывно.

Обратное отображение имеет вид

\[ f^{-1}(y)=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}, \qquad y\in(-1,1). \]

Следовательно, пространства \( \mathbb{R} \) и \( (-1,1) \) гомеоморфны и обладают одинаковыми топологическими свойствами.

Так как вещественная прямая метризуема, из этого сразу следует, что открытый интервал \( (-1,1) \) также метризуем. Более того, в данном случае это легко проверить напрямую: топология интервала порождается ограничением евклидовой метрики на множество \( (-1,1) \).