الفضاءات المترية: قابلية التمتير والتشاكلات التبولوجية

إذا كان الفضاء التبولوجي \( X \) قابلاً للتمتير، وكان الفضاء \( Y \) متشاكلاً تبولوجيًا مع \( X \)، فإن \( Y \) يكون قابلاً للتمتير أيضًا.

بمعنى آخر، فإن قابلية التمتير هي خاصية تبولوجية لا تتغير بالتشاكل التبولوجي. فإذا كان فضاء ما قابلاً للتمتير، فإن أي فضاء متشاكل معه تبولوجيًا سيكون قابلاً للتمتير بدوره.

ولهذا السبب، إذا كنت تعلم مسبقًا أن الفضاء \( X \) قابل للتمتير، ثم أثبتَّ أن فضاءً آخر \( Y \) متشاكل تبولوجيًا معه، فلن تكون بحاجة إلى إنشاء مترية جديدة على \( Y \). إذ يكفي وجود التشاكل التبولوجي لاستنتاج أن \( Y \) قابل للتمتير أيضًا.

الشرح

يكون الفضاء التبولوجي \( X \) قابلاً للتمتير إذا وُجدت عليه مترية \( d \) تولِّد تبولوجيته. أي إن جميع المجموعات المفتوحة في هذا الفضاء يمكن وصفها انطلاقًا من تلك المترية.

أما التشاكل التبولوجي فهو تطبيق تقابلي بين فضاءين تبولوجيين يكون مستمرًا، ويكون تطبيقه العكسي مستمرًا أيضًا. وعندما يكون فضاءان متشاكلين تبولوجيًا، فإنهما يمتلكان البنية التبولوجية نفسها، حتى وإن اختلف شكلهما الهندسي أو طريقة تمثيلهما.

إذا كانت تبولوجيا الفضاء \( X \) مولَّدة بالمترية \( d \)، وكان هناك تشاكل تبولوجي \( f : X \to Y \)، فيمكن نقل هذه المترية إلى الفضاء \( Y \) بتعريف المترية التالية:

\[ \rho(y_1,y_2)=d\bigl(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2)\bigr). \]

وتولِّد هذه المترية تبولوجيا الفضاء \( Y \)، ومن ثم يصبح \( Y \) قابلاً للتمتير.

وباختصار، فإن التشاكل التبولوجي يسمح بنقل قابلية التمتير من فضاء إلى آخر، لأن الفضاءين يتقاسمان البنية التبولوجية نفسها.

مثال تطبيقي

لنأخذ المستقيم الحقيقي \( \mathbb{R} \) المزود بتبولوجيته الاعتيادية الناتجة عن المسافة الإقليدية، والفترة المفتوحة \( (-1,1) \).

من المعروف أن \( \mathbb{R} \) فضاء قابل للتمتير باستعمال المترية الإقليدية.

عرِّف الآن التطبيق

\[ f : \mathbb{R} \to (-1,1), \qquad f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}. \]

هذا التطبيق تشاكل تبولوجي، لأنه تقابلي ومستمر، كما أن تطبيقه العكسي مستمر أيضًا. ويمكن النظر إليه على أنه يحوِّل المستقيم الحقيقي كله بصورة مستمرة إلى الفترة المفتوحة \( (-1,1) \) دون أن يغيِّر بنيته التبولوجية.

وبما أن التشاكل التبولوجي يحافظ على الخصائص التبولوجية، فإن قابلية التمتير تنتقل من \( \mathbb{R} \) إلى \( (-1,1) \).

ولذلك فإن الفترة المفتوحة \( (-1,1) \) قابلة للتمتير هي الأخرى، بل إنها تستخدم المترية الإقليدية نفسها بعد تقييدها على هذه الفترة.

وينطبق هذا المبدأ بصورة عامة على كل فضاء متشاكل تبولوجيًا مع فضاء قابل للتمتير.