مبرهنة المترية المحدودة المكافئة
في الفضاء المتري \( (X, d) \)، يمكن تعريف مترية محدودة جديدة وفق الصيغة \( d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) \). وعلى الرغم من أن هذه المترية تحدّ المسافات القصوى، فإنها تستحث الطوبولوجيا نفسها التي تستحثها المترية الأصلية \( d \). وهذا يعني أن المجموعات المفتوحة في كلتا المترتين متطابقة.
بعبارة أخرى، تُبنى المترية الجديدة \( d' \) انطلاقًا من المترية الأصلية \( d \) كما يأتي:
$$ d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) $$
إذا كانت المسافة بين النقطتين أقل من أو تساوي 1، فإنها تبقى كما هي. أما إذا تجاوزت 1، فتُستبدل بالقيمة 1. وبهذه الطريقة تصبح \( d' \) مترية محدودة، لأنها لا يمكن أن تعطي قيمة أكبر من 1.
ورغم هذا التعديل، لا تتغير الطوبولوجيا المستحثة، إذ تبقى جميع المجموعات المفتوحة كما هي.
وهذا يعني أن البنية الطوبولوجية للفضاء لا تتأثر بتقييد المسافات، لأن الطوبولوجيا تعتمد على سلوك النقاط المتجاورة، لا على القيم الكبيرة للمسافات.
ملاحظة: ليس من الضروري اختيار العدد 1. فبصورة عامة يمكن استبداله بأي عدد موجب \(\varepsilon > 0\): $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $$ وفي هذه الحالة تُحصر جميع المسافات بالقيمة \(\varepsilon\)، مع بقاء الطوبولوجيا المستحثة دون تغيير. ولتبسيط العرض، سنفترض في هذا المقال أن \(\varepsilon = 1\).
مثال عملي
لنعتبر مجموعة الأعداد الحقيقية \( \mathbb{R} \) مزودة بالمترية الاعتيادية:
$$ d(x, y) = |x - y| $$
ثم نعرّف مترية محدودة جديدة كما يأتي:
$$ d'(x, y) = \min(|x - y|, 1) $$
في هذه المترية لا يمكن أن تتجاوز أي مسافة القيمة 1.
إذا كان \( x = 2 \) و\( y = 5 \)، فإن المسافة وفق المترية الأصلية هي \( d(2,5)=3 \)، بينما تصبح وفق المترية الجديدة \( d'(2,5)=1 \). أما إذا كان \( x = 2 \) و\( y = 2.5 \)، فإن المسافة تساوي \(0.5\)، وهي أصغر من 1، ولذلك لا تتغير: \( d'(2,2.5)=0.5 \). في هذه الحالة تتفق المترتان تمامًا. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$
إذن، لا تغيّر المترية \( d' \) إلا المسافات التي تتجاوز 1، بينما تبقى جميع المسافات الأصغر كما هي. ولهذا السبب تظل مفاهيم القرب والانفتاح دون تغيير.
لماذا تبقى الطوبولوجيا نفسها؟
تعتمد الطوبولوجيا في الفضاءات المترية على الكرات المفتوحة، أي على جميع النقاط التي تبعد عن مركز معين أقل من نصف قطر محدد.
وعندما يكون نصف القطر أصغر من 1، فإن الكرات المفتوحة في \( d \) و\( d' \) تتطابق تمامًا، لأن المترية الجديدة لم تغيّر هذه المسافات.
أما إذا كان نصف القطر أكبر من 1، فإن الكرة المفتوحة بالنسبة إلى \( d' \) تختلف عن الكرة المناظرة لها بالنسبة إلى \( d \). ومع ذلك، يمكن تغطية أي مجموعة مفتوحة بواسطة اتحاد عدد من الكرات الصغيرة، وهو ما يكفي للحفاظ على الطوبولوجيا نفسها.
ولتوضيح ذلك، لننظر إلى الكرة المفتوحة \( B_d(3,2) \)، التي مركزها 3 ونصف قطرها 2.
وفق التعريف:
$$ B_d(x,r)=\{y\in\mathbb{R}\mid d(x,y)
وفي مثالنا:
$$ B_d(3,2)=\{y\in\mathbb{R}\mid d(3,y)<2\} $$
وباستخدام المترية الاعتيادية نحصل على:
$$ |3-y|<2 $$
أي:
$$ -2<3-y<2 $$
$$ -5<-y<-1 $$
$$ 1
إذن:
$$ B_d(3,2)=(1,5) $$
أي إنها تمثل جميع النقاط الواقعة على بعد أقل من وحدتين من العدد 3.
يوضح الشكل الآتي هذه الكرة المفتوحة على المستقيم الحقيقي:
وباستخدام المترية \( d' \)، يمكن تغطية الفترة \( (1,5) \) باتحاد كرات مفتوحة أصغر، يكون نصف قطر كل منها أقل من 1:
$$ \bigcup_{a\in(1,5)} B_{d'}(a,r_a) $$
حيث يُختار لكل نقطة \(a\) نصف قطر موجب \(r_a<1\) بحيث تبقى الكرة المفتوحة محتواة داخل الفترة \( (1,5) \).
وهكذا نرى أن المجموعات المفتوحة الناتجة عن \( d \) و\( d' \) متطابقة، ومن ثم تستحث المترتان الطوبولوجيا نفسها.
البرهان
لإثبات أن \( d' \) تستحث الطوبولوجيا نفسها التي تستحثها \( d \)، نبدأ أولًا بإثبات أنها مترية صحيحة.
ويجب أن تحقق الشروط الآتية:
- \( d'(x,y)\ge0 \).
- \( d'(x,y)=0 \) إذا وفقط إذا كان \(x=y\).
- \( d'(x,y)=d'(y,x) \).
- تحقق متباينة المثلث.
تنتج الخصائص الثلاث الأولى مباشرة من تعريف \( d' \) ومن كون \( d \) مترية.
أما بالنسبة إلى متباينة المثلث، فيكفي إثبات أن:
$$ d'(x,z)\le d'(x,y)+d'(y,z) $$
أي:
$$ \min(d(x,z),1)\le \min(d(x,y),1)+\min(d(y,z),1) $$
إذا كانت إحدى المسافتين \( d(x,y) \) أو \( d(y,z) \) لا تقل عن 1، فإن الطرف الأيمن لا يقل عن 1، بينما \( d'(x,z)\le1 \)، فتتحقق المتباينة مباشرة.
أما إذا كانت كلتا المسافتين أصغر من 1، فإن:
$$ d'(x,y)=d(x,y), \qquad d'(y,z)=d(y,z) $$
وبما أن \( d \) تحقق متباينة المثلث، فإن:
$$ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) $$
ومن ثم:
$$ d'(x,z)=\min(d(x,z),1)\le d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)=d'(x,y)+d'(y,z) $$
وعليه، فإن \( d' \) تحقق أيضًا متباينة المثلث، وبالتالي فهي مترية صحيحة.
يبقى الآن إثبات أن الطوبولوجيتين المستحثتين بالمترتين متطابقتان.
ولتكن \(T\) الطوبولوجيا المستحثة بالمترية \(d\)، و\(T'\) الطوبولوجيا المستحثة بالمترية \(d'\).
يكفي إثبات الاحتواءين:
- \(T\subseteq T'\).
- \(T'\subseteq T\).
أولًا: إثبات أن \(T\subseteq T'\)
لتكن \(A\) مجموعة مفتوحة في \(T\)، ولتكن \(x\in A\).
يوجد عدد موجب \(r\) بحيث:
$$ B_d(x,r)\subseteq A $$
نختار عددًا موجبًا \(\rho\) يحقق:
$$ \rho<\min(r,1) $$
وبما أن \(\rho<1\)، فإن:
$$ B_{d'}(x,\rho)=B_d(x,\rho) $$
ومن ثم:
$$ B_{d'}(x,\rho)\subseteq B_d(x,r)\subseteq A $$
وهذا يثبت أن \(A\) مفتوحة أيضًا بالنسبة إلى \(T'\)، وبالتالي:
$$ T\subseteq T' $$
ثانيًا: إثبات أن \(T'\subseteq T\)
لتكن \(A\) مجموعة مفتوحة في \(T'\)، ولتكن \(x\in A\).
يوجد عدد موجب \(r\) بحيث:
$$ B_{d'}(x,r)\subseteq A $$
نختار مرة أخرى:
$$ \rho<\min(r,1) $$
وعندئذ:
$$ B_d(x,\rho)=B_{d'}(x,\rho) $$
ومن ثم:
$$ B_d(x,\rho)\subseteq B_{d'}(x,r)\subseteq A $$
وبذلك تكون \(A\) مفتوحة أيضًا بالنسبة إلى \(T\)، أي:
$$ T'\subseteq T $$
النتيجة
بما أن:
$$ T\subseteq T' \qquad\text{و}\qquad T'\subseteq T $$
فإن:
$$ T=T' $$
وبذلك نصل إلى النتيجة المطلوبة: إن المترية الأصلية \( d \) والمترية المحدودة \( d' \) تستحثان الطوبولوجيا نفسها، على الرغم من أن \( d' \) تحدّ جميع المسافات بالقيمة 1.
