مبرهنة مقارنة الطوبولوجيات المولَّدة بالمقاييس

لتكن $d$ و$d'$ مقياسين معرفين على مجموعة $X$، ولتكن $\mathcal{T}$ و$\mathcal{T}'$ الطوبولوجيتين المولَّدتين بهذين المقياسين على الترتيب. تكون الطوبولوجيا $\mathcal{T}'$ أدق من الطوبولوجيا $\mathcal{T}$ إذا وفقط إذا تحقق الشرط الآتي: لكل نقطة $x \in X$ ولكل $\varepsilon > 0$، يوجد عدد $\delta > 0$ بحيث: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$ حيث تمثل $B_d(x,\varepsilon)$ و$B_{d'}(x,\delta)$ الكرتين المفتوحتين ذواتي المركز $x$ ونصفي القطر $\varepsilon$ و$\delta$، بالنسبة إلى المقياسين $d$ و$d'$ على الترتيب.

بمعنى آخر، إذا استخدمنا مقياسين مختلفين لقياس المسافات على المجموعة نفسها، فإن كل مقياس يولد طوبولوجيا خاصة به، أي طريقة مختلفة لتحديد المجموعات المفتوحة.

الطوبولوجيا $\mathcal{T}$ المولَّدة بالمقياس $d$.
الطوبولوجيا $\mathcal{T}'$ المولَّدة بالمقياس $d'$.

وتنص المبرهنة على أن الطوبولوجيا $\mathcal{T}'$ تكون أدق من الطوبولوجيا $\mathcal{T}$ إذا وفقط إذا أمكن، حول كل نقطة، إيجاد كرة مفتوحة في المقياس $d'$ تكون محتواة بالكامل داخل أي كرة مفتوحة مناظرة في المقياس $d$.

وهذه الصياغة تجعل العلاقة بين المقاييس والطوبولوجيات أكثر وضوحًا، إذ تبين أن مقارنة الطوبولوجيات تتم من خلال مقارنة الكرات المفتوحة التي يولدها كل مقياس.

مثال عملي
البرهان

مثال عملي

لنعتبر المجموعة $X=\mathbb{R}^2$، أي المستوى الديكارتي، مزودة بالمقياسين الآتيين:

المقياس الإقليدي: \[ d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. \] وتمثل كراته المفتوحة أقراصًا مفتوحة: $$ B_d((x,y),\varepsilon) = \{(u,v)\in\mathbb{R}^2: \sqrt{(u-x)^2+(v-y)^2} < \varepsilon\}. $$
المقياس المنفصل: \[ d'((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \begin{cases} 0 & \text{إذا كان }(x_1,y_1)=(x_2,y_2),\\ 1 & \text{إذا كان }(x_1,y_1)\neq(x_2,y_2). \end{cases} \] وتكون كراته المفتوحة كما يأتي: \[ B_{d'}((x,y),\delta) = \begin{cases} \{(x,y)\} & \text{إذا كان }0<\delta\le1,\\ X & \text{إذا كان }\delta>1. \end{cases} \]

سنثبت أن الطوبولوجيا المنفصلة أدق من الطوبولوجيا الإقليدية.

وفقًا للمبرهنة، يكفي التحقق من الشرط التالي:

$$ \mathcal{T}' \text{ أدق من } \mathcal{T} \iff \forall x\in X,\; \forall\varepsilon>0,\; \exists\delta>0 \text{ بحيث } B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

لنختر نقطة عامة $P=(x_0,y_0)$ في المستوى، ولنعتبر كرة مفتوحة إقليدية $B_d(P,\varepsilon)$، حيث $\varepsilon>0$.

تمثل هذه الكرة قرصًا مفتوحًا مركزه $P$ ونصف قطره $\varepsilon$.

أما في المقياس المنفصل، فإن الكرة المفتوحة حول النقطة نفسها تكون:

$\{P\}$ إذا كان $0<\delta\le1$.
$X$ إذا كان $\delta>1$.

ولأن كل مجموعة جزئية في الطوبولوجيا المنفصلة تعد مجموعة مفتوحة، فإن المجموعة $\{P\}$ مفتوحة دائمًا.

إذا اخترنا $\delta=1$، فإن:

$$ B_{d'}(P,1)=\{P\}. $$

ومن الواضح أن:

$$ \{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon), $$

لأن النقطة $P$ تنتمي إلى الكرة الإقليدية.

إذن، لكل نقطة $P$ ولكل $\varepsilon>0$، يوجد عدد $\delta>0$ بحيث:

$$ B_{d'}(P,\delta)\subseteq B_d(P,\varepsilon). $$

على سبيل المثال، لنأخذ النقطة $P=(1,2)\in\mathbb{R}^2$. في الطوبولوجيا الإقليدية، تمثل الكرة المفتوحة ذات المركز $P$ ونصف القطر $\varepsilon=0.4$ مجموعة مفتوحة.
مثال يوضح مقارنة الطوبولوجيا الإقليدية بالطوبولوجيا المنفصلة
وفي الطوبولوجيا المنفصلة، تكون المجموعة $\{P\}$ مفتوحة أيضًا. وبما أن $\{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon)$، فإن كل كرة مفتوحة في الطوبولوجيا الإقليدية تحتوي على مجموعة مفتوحة واحدة على الأقل في الطوبولوجيا المنفصلة. وينطبق هذا الاستنتاج على جميع نقاط المستوى.

وبذلك يتحقق شرط المبرهنة، ومن ثم نستنتج أن الطوبولوجيا المنفصلة $(\mathcal{T}')$ أدق من الطوبولوجيا الإقليدية $(\mathcal{T})$.

البرهان

لإثبات المبرهنة، نبرهن أولًا كل اتجاه من التكافؤ على حدة.

أ] الاتجاه الأول

نفترض أن $\mathcal{T}'$ أدق من $\mathcal{T}$، ونريد إثبات أنه لكل $x\in X$ ولكل $\varepsilon>0$، يوجد $\delta>0$ بحيث:

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

بما أن $\mathcal{T}'$ أدق من $\mathcal{T}$، فإن كل مجموعة مفتوحة في $\mathcal{T}$ تكون مفتوحة أيضًا في $\mathcal{T}'$.
وعليه فإن الكرة المفتوحة $B_d(x,\varepsilon)$ تكون مفتوحة في الطوبولوجيا $\mathcal{T}'$.
وبحسب تعريف المجموعة المفتوحة في الطوبولوجيا المولدة بالمقياس $d'$، فإن لكل نقطة $x$ داخل هذه الكرة توجد كرة مفتوحة $B_{d'}(x,\delta)$ محتواة بالكامل في $B_d(x,\varepsilon)$.
ومن ثم يتحقق: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

ب] الاتجاه الثاني

نفترض الآن أنه لكل $x\in X$ ولكل $\varepsilon>0$، يوجد $\delta>0$ بحيث:

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

وسنبين أن $\mathcal{T}'$ أدق من $\mathcal{T}$.

لتكن $U$ مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا $\mathcal{T}$.
بما أن $U$ مفتوحة، فإن كل نقطة $x\in U$ تنتمي إلى كرة مفتوحة $B_d(x,\varepsilon)$ محتواة في $U$.
وبحسب الفرض، توجد كرة مفتوحة $B_{d'}(x,\delta)$ تحقق: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$
وبالتالي: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq U. $$
أي إن كل نقطة في $U$ تمتلك جوارًا مفتوحًا بالنسبة إلى الطوبولوجيا $\mathcal{T}'$ يقع بالكامل داخل $U$، وهو ما يعني أن $U$ مفتوحة أيضًا في $\mathcal{T}'$.

وبهذا يثبت الاتجاه الثاني أيضًا، فتكتمل المبرهنة.

وهكذا دواليك.