距離が誘導する位相の比較定理
集合 \(X\) 上に二つの距離 \(d\) と \(d'\) が与えられているとします。また、それぞれの距離が誘導する位相を \(\mathcal{T}\)、\(\mathcal{T}'\) とします。このとき、\(\mathcal{T}'\) が \(\mathcal{T}\) より細かい位相であるための必要十分条件は、任意の \(x \in X\) と任意の \(\varepsilon > 0\) に対して、ある \(\delta > 0\) が存在し、次の包含関係が成り立つことです。 $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$ ここで、\(B_d(x,\varepsilon)\) および \(B_{d'}(x,\delta)\) は、それぞれ距離 \(d\)、\(d'\) に関する、中心 \(x\)、半径 \(\varepsilon\)、\(\delta\) の開球を表します。
言い換えると、二つの距離が定める位相を比較するには、各点のまわりの開球同士を比較すれば十分です。距離 \(d\) による任意の開球の中に、距離 \(d'\) による十分小さな開球を必ず含めることができるならば、\(\mathcal{T}'\) は \(\mathcal{T}\) より細かい位相になります。
- 距離 \(d\) が誘導する位相：\(\mathcal{T}\)
- 距離 \(d'\) が誘導する位相：\(\mathcal{T}'\)
この定理は、「どちらの位相の方が細かいか」を、開球の包含関係だけで判定できることを示しています。そのため、距離と位相の関係を理解するうえで基本となる重要な結果の一つです。
具体例
集合 \(X=\mathbb{R}^2\)（デカルト平面）上で、次の二つの距離を考えます。
- ユークリッド距離： \(d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)。この距離における開球は開円板であり、 $$ B_d((x,y),\varepsilon)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{(u-x)^2+(v-y)^2}<\varepsilon\} $$ と表されます。
- 離散距離： \(d'((x_1,y_1),(x_2,y_2))= \begin{cases} 0 & \text{if } (x_1,y_1)=(x_2,y_2),\\ 1 & \text{if } (x_1,y_1)\neq(x_2,y_2) \end{cases}\) 。 この距離では、開球は \[ B_{d'}((x,y),\delta)= \begin{cases} \{(x,y)\} & \text{if } \delta\le1,\\ X & \text{if } \delta>1 \end{cases} \] となります。
この例では、離散位相がユークリッド位相より細かいことを確認します。
定理によれば、次を示せば十分です。
$$ \mathcal{T}' \text{ is finer than } \mathcal{T} \iff \forall x\in X,\; \forall\varepsilon>0,\; \exists\delta>0 \text{ such that } B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$
任意の点 \(P=(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2\) を取り、ユークリッド距離による開球 \(B_d(P,\varepsilon)\) を考えます。これは中心 \(P\)、半径 \(\varepsilon\) の開円板です。
一方、離散距離による開球は、定義から次のいずれかになります。
- \(\delta\le1\) のとき：\(\{P\}\)
- \(\delta>1\) のとき：空間全体 \(X\)
離散位相では、すべての一点集合が開集合になります。
ここで \(\delta=1\) とすると、
$$ B_{d'}(P,1)=\{P\} $$
となります。点 \(P\) は当然 \(B_d(P,\varepsilon)\) に含まれるため、
$$ \{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon) $$
が成り立ちます。
したがって、任意の点 \(P\) と任意の \(\varepsilon>0\) に対して、ある \(\delta>0\) が存在し、
$$ B_{d'}(P,\delta)\subseteq B_d(P,\varepsilon) $$
となることが分かります。
例えば、点 \(P=(1,2)\in\mathbb{R}^2\) を考えます。ユークリッド位相では、中心 \(P\)、半径 \(\varepsilon=0.4\) の開球は開集合です。
一方、離散位相では一点集合 \(\{P\}\) 自体が開集合になります。また、点 \(P\) は開球 \(B_d(P,\varepsilon)\) の内部にあるため、\(\{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon)\) が成り立ちます。この議論は平面上の任意の点について同様に成立します。したがって、ユークリッド距離に関する任意の開球には、離散距離に関する開集合が少なくとも一つ含まれています。
以上より、定理の条件はすべて満たされます。したがって、離散位相 \(\mathcal{T}'\) はユークリッド位相 \(\mathcal{T}\) より細かい位相であることが分かります。
証明
証明は、次の二つの方向について行います。
- \(\mathcal{T}'\) が \(\mathcal{T}\) より細かいならば、各開球に対して条件を満たす開球が存在することを示します。
- 逆に、この条件が任意の点で成り立つならば、\(\mathcal{T}'\) が \(\mathcal{T}\) より細かいことを示します。
A] 前半
\(\mathcal{T}'\) が \(\mathcal{T}\) より細かいと仮定します。
- 定義より、\(\mathcal{T}\) のすべての開集合は \(\mathcal{T}'\) においても開集合です。したがって、任意の開球 \(B_d(x,\varepsilon)\) は \(\mathcal{T}'\) においても開集合になります。
- \(B_d(x,\varepsilon)\) は \(\mathcal{T}'\) の開集合であるため、開集合の定義から、点 \(x\) を中心とする十分小さい \(d'\) の開球 \(B_{d'}(x,\delta)\) を、その内部に取ることができます。
- したがって、 $$B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)$$ が成り立ちます。
B] 後半
今度は逆に、任意の点と任意の半径に対して、上の条件が成り立つと仮定します。
- つまり、任意の \(x\in X\) と任意の \(\varepsilon>0\) に対して、 $$B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)$$ を満たす \(\delta>0\) が存在すると仮定します。
- \(\mathcal{T}\) の任意の開集合 \(U\) を取ります。これが \(\mathcal{T}'\) においても開集合であることを示します。
- 任意の点 \(x\in U\) を取ると、\(U\) は \(\mathcal{T}\) の開集合なので、ある \(\varepsilon>0\) が存在し、 $$B_d(x,\varepsilon)\subseteq U$$ となります。
- 仮定より、 $$B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)$$ を満たす \(\delta>0\) が存在するため、 $$B_{d'}(x,\delta)\subseteq U$$ が従います。
- したがって、\(U\) の任意の点は \(\mathcal{T}'\) に関する開近傍をもちます。ゆえに、\(U\) は \(\mathcal{T}'\) においても開集合です。
以上により、両方向が示され、定理の証明が完成します。
以下同様です。
