Metriklerin İndüklediği Topolojilerin Karşılaştırılması Teoremi

$X$ kümesi üzerinde tanımlı $d$ ve $d'$ olmak üzere iki metrik verilsin. Bu metriklerin indüklediği topolojiler sırasıyla $\mathcal{T}$ ve $\mathcal{T}'$ ile gösterilsin. Buna göre $\mathcal{T}'$ topolojisi, $\mathcal{T}$ topolojisinden daha ince ise ve ancak ise, her $x \in X$ ve her $\varepsilon > 0$ için bir $\delta > 0$ vardır ve şu koşul sağlanır: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$ Burada $B_d(x,\varepsilon)$ ve $B_{d'}(x,\delta)$, sırasıyla $d$ ve $d'$ metriklerine göre merkezi $x$, yarıçapları ise $\varepsilon$ ve $\delta$ olan açık topları ifade eder.

Bir küme üzerinde farklı metrikler tanımlanabilir ve her metrik, o kümenin topolojik yapısını belirler. Bu nedenle iki farklı metriğin oluşturduğu topolojilerin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu anlamak önemlidir.

Bu teorem, bir metriğin indüklediği topolojinin diğerinden daha ince olup olmadığını belirlemek için pratik ve güçlü bir ölçüt sunar.

$\mathcal{T}$: $d$ metriğinin indüklediği topoloji
$\mathcal{T}'$: $d'$ metriğinin indüklediği topoloji

Teoreme göre $\mathcal{T}'$ topolojisi, $\mathcal{T}$ topolojisinden daha incedir, yani daha fazla açık küme içerir, ancak ve ancak $\mathcal{T}$'deki her açık kümenin içinde $\mathcal{T}'$'ye ait en az bir açık küme bulunuyorsa.

Başka bir ifadeyle, $d$ metriğine göre oluşturulan her açık topun içinde, $d'$ metriğine göre tanımlanmış yeterince küçük bir açık top bulunabilmelidir.

Bu bakış açısı, metrikler ile topolojiler arasındaki ilişkiyi daha somut ve anlaşılır hâle getirir.

Bir Uygulama Örneği
İspat

Bir Uygulama Örneği

$X=\mathbb{R}^2$, yani Kartezyen düzlem üzerinde tanımlı iki farklı metriği ele alalım:

Öklid Metriği: $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Bu metriğe göre açık toplar daire biçimindedir: $$ B_d((x,y),\varepsilon)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{(u-x)^2+(v-y)^2}<\varepsilon\} $$
Ayrık Metrik: $d'((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\begin{cases}0 & \text{eğer } (x_1,y_1)=(x_2,y_2),\\1 & \text{eğer } (x_1,y_1)\neq(x_2,y_2)\end{cases}$. Bu metriğe göre açık toplar şu şekilde tanımlanır: \[ B_{d'}((x,y),\delta)=\begin{cases}\{(x,y)\} & \text{eğer } \delta\leq 1,\\X & \text{eğer } \delta>1.\end{cases} \]

Bu örnekte ayrık topolojinin Öklid topolojisinden daha ince olduğunu göstereceğiz.

Teoreme göre doğrulamamız gereken koşul şudur:

$$ \mathcal{T}' \text{ is finer than } \mathcal{T} \iff \forall x \in X,\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0 \text{ such that } B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$

$\mathbb{R}^2$ düzleminde herhangi bir $P=(x_0,y_0)$ noktası seçelim ve Öklid metriğine göre tanımlanan $B_d(P,\varepsilon)$ açık topunu ele alalım.

Bu küme, merkezi $P$ noktası olan ve yarıçapı $\varepsilon$ olan açık bir dairedir.

Şimdi ayrık metriğe göre tanımlanan $B_{d'}(P,\delta)$ açık topunu inceleyelim. Tanım gereği:

$\delta\leq 1$ ise $B_{d'}(P,\delta)=\{P\}$,
$\delta>1$ ise $B_{d'}(P,\delta)=X$ olur.

Ayrık topolojinin en dikkat çekici özelliği, her noktanın tek başına açık bir küme olmasıdır.

$\delta=1$ seçersek:

$$ B_{d'}(P,\delta)=\{P\} $$

olur. Ayrıca $P$ noktası açıkça $B_d(P,\varepsilon)$ kümesinin içinde bulunduğundan:

$$ \{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon) $$

eşitsizliği sağlanır.

Dolayısıyla her $P=(x_0,y_0)$ noktası ve her $\varepsilon>0$ için bir $\delta>0$ bulunabilir ve:

$$ B_{d'}(P,\delta)\subseteq B_d(P,\varepsilon) $$

koşulu gerçekleşir.

Örneğin $P=(1,2)\in\mathbb{R}^2$ noktasını ele alalım. Öklid topolojisinde, merkezi $P$ olan ve yarıçapı $\varepsilon=0.4$ olan açık top bir açık kümedir.
Öklid topolojisi ile ayrık topolojinin karşılaştırılması
Ayrık topolojide ise $\{P\}=\{(1,2)\}$ kümesi doğrudan açık bir kümedir. Ayrıca bu küme, $P$ noktası dairenin içinde yer aldığı için $B_d(P,\varepsilon)$ kümesinin alt kümesidir. Aynı argüman düzlemdeki tüm noktalar için geçerlidir. Böylece Öklid topolojisindeki her açık topun içinde, ayrık topolojide açık olan bir kümenin bulunduğu görülür.

Sonuç olarak teoremin koşulları sağlanmaktadır. Bu nedenle ayrık topoloji ($\mathcal{T}'$), Öklid topolojisinden ($\mathcal{T}$) daha ince bir topolojidir.

İspat

Teoremin ispatı iki yönlüdür. Önce $\mathcal{T}'$'nin $\mathcal{T}$'den daha ince olduğunu varsayacağız, ardından bunun tersini göstereceğiz.

A] Birinci Yön

$\mathcal{T}'$'nin $\mathcal{T}$'den daha ince olduğunu varsayalım.

Tanım gereği, $\mathcal{T}$'de açık olan her küme aynı zamanda $\mathcal{T}'$'de de açıktır. Dolayısıyla $B_d(x,\varepsilon)$ biçimindeki her açık top da $\mathcal{T}'$'de açıktır.
$B_d(x,\varepsilon)$ kümesi $\mathcal{T}'$'de açık olduğundan, açıklık tanımına göre bu kümenin her noktasının, tamamen bu kümenin içinde kalan bir $d'$-açık komşuluğu vardır.
Özellikle $x$ noktası için bir $\delta>0$ bulunabilir ve: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$ elde edilir.

Böylece gerekli koşulun sağlandığı gösterilmiş olur.

B] İkinci Yön

Şimdi tersini varsayalım. Her $x\in X$ ve her $\varepsilon>0$ için:

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$

olacak bir $\delta>0$ bulunduğunu kabul edelim.

$\mathcal{T}$ topolojisinde herhangi bir açık küme $U$ seçelim.
$U$ açık olduğundan, her $x\in U$ noktası için: $$ B_d(x,\varepsilon)\subseteq U $$ olacak bir açık top vardır.
Varsayım gereği, bu açık topun içinde: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$ koşulunu sağlayan bir $d'$-açık top bulunur.
Dolayısıyla: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)\subseteq U $$ elde edilir.
Bu da $U$'daki her noktanın, tamamen $U$ içinde kalan bir $d'$-açık komşuluğa sahip olduğunu gösterir. O hâlde $U$, $\mathcal{T}'$'de de açıktır.

Böylece $\mathcal{T}$'de açık olan her kümenin $\mathcal{T}'$'de de açık olduğu kanıtlanmış olur.

Sonuç olarak $\mathcal{T}'$, $\mathcal{T}$'den daha ince bir topolojidir ve teorem her iki yönde de ispatlanmıştır.