Metriklenebilir Topolojik Uzay
Metriklenebilir topolojik uzay, topolojisinin uygun bir metrik yardımıyla tanımlanabildiği bir topolojik uzaydır. Daha açık bir ifadeyle, bir \( X \) topolojik uzayı üzerinde öyle bir \( d \) metriği bulunur ki, bu metriğin oluşturduğu topoloji ile \( X \)'in mevcut topolojisi tamamen aynıdır.
Bir \( d \) metriği, \( X \) kümesi üzerinde tanımlı
\( d: X \times X \to [0, \infty) \)
şeklinde bir fonksiyondur ve şu temel özellikleri sağlar:
- Uzaklık hiçbir zaman negatif değildir.
- \( d(x,y)=d(y,x) \) eşitliği her zaman geçerlidir.
- Üçgen eşitsizliği sağlanır.
- \( d(x,y)=0 \) ancak ve ancak \( x=y \) olduğunda gerçekleşir.
Bir metrik tanımlandığında, her noktanın çevresinde açık toplar oluşturulabilir. Bir \( x \) noktasının merkez olduğu ve yarıçapı \( r>0 \) olan açık top şu şekilde tanımlanır:
\( B_r(x)=\{y \in X : d(x,y)
Metriğin oluşturduğu topolojide açık kümeler, bu açık topların birleşimleri olarak elde edilir.
Dolayısıyla bir topolojik uzayın metriklenebilir olması, uzayın tüm açık kümelerinin uygun bir uzaklık kavramı kullanılarak tanımlanabilmesi anlamına gelir.
Not: Metriklenebilirlik, topolojik uzayların incelenmesinde önemli bir özelliktir. Çünkü metrikler sayesinde yakınsaklık, süreklilik, kompaktlık ve tamlık gibi birçok kavram daha somut ve sezgisel bir şekilde ele alınabilir.
Ancak her topolojik uzay metriklenebilir değildir. Örneğin Hausdorff olmayan bir topoloji hiçbir metrik tarafından oluşturulamaz. Bu nedenle metriklenebilir uzaylar, tüm topolojik uzayların yalnızca belirli bir alt sınıfını oluşturur.
Pratik Bir Örnek
Standart topolojisiyle donatılmış gerçek sayılar doğrusu \( \mathbb{R} \)'yi ele alalım.
Bu topolojide açık kümeler, açık aralıkların keyfi birleşimleri olarak tanımlanır. Başka bir deyişle, \( a< b \) olmak üzere her \( (a,b) \) açık aralığı bir açık kümedir ve daha karmaşık açık kümeler bu aralıkların birleşimlerinden elde edilir.
Şimdi gerçek sayılar doğrusu üzerinde alışık olduğumuz uzaklık fonksiyonunu tanımlayalım:
$$ d(x,y)=|x-y| $$
Bu fonksiyon, iki nokta arasındaki mutlak uzaklığı verir.
Bu metrik altında, merkezi \( x \) olan ve yarıçapı \( r \) olan açık top şu şekildedir:
$$ B_r(x)=\{y \in \mathbb{R}:d(x,y)
Görüldüğü gibi açık toplar tam olarak açık aralıklara karşılık gelmektedir.
\( \mathbb{R} \)'nin standart topolojisindeki her açık küme açık aralıkların birleşimi olduğundan ve bu açık aralıklar da metriğin oluşturduğu açık toplar olduğundan, gerçek sayılar doğrusunun standart topolojisi bu metrik tarafından oluşturulur.
Bu nedenle \( \mathbb{R} \) metriklenebilir bir topolojik uzaydır.
Örnek 2
Şimdi de ayrık topoloji ile donatılmış bir \( X \) kümesini ele alalım. Kümenin sonlu ya da sonsuz olması önemli değildir.
Ayrık topolojide \( X \)'in her alt kümesi açıktır.
\( X \) üzerinde aşağıdaki metriği tanımlayalım:
$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0 & \text{eğer } x = y, \\
1 & \text{eğer } x \neq y.
\end{cases}
$$
Bu metrik ayrık metrik olarak adlandırılır.
Şimdi bu metriğin oluşturduğu açık toplara bakalım.
- Eğer \( r \leq 1 \) ise, \( B_r(x)=\{x\} \)
Açıklama: Bu durumda yalnızca \( d(x,y)=0 \) olan noktalar \( d(x,y)
- Eğer \( r>1 \) ise, \( B_r(x)=X \)
Açıklama: Bu durumda hem \( d(x,y)=0 \) hem de \( d(x,y)=1 \) değerleri \( d(x,y)
Ayrık topolojide tek noktalı kümeler de dahil olmak üzere tüm alt kümeler açık olduğundan, her açık küme bu açık topların birleşimi şeklinde yazılabilir.
Dolayısıyla ayrık topolojiyle donatılmış her \( X \) kümesi metriklenebilir bir uzaydır.
Bu örnek, uygun bir metrik seçildiğinde topolojinin nasıl eksiksiz biçimde tanımlanabildiğini açıkça göstermektedir.
Notlar
Metriklenebilir uzaylarla ilgili bazı önemli sonuçlar şunlardır:
- Eğer bir \( X \) topolojik uzayı metriklenebilir ve \( Y \), \( X \)'e homeomorf ise, \( Y \) de metriklenebilirdir.
Bu sonuç, metriklenebilirliğin homeomorfizmler altında korunan bir topolojik özellik olduğunu gösterir. Dolayısıyla bir uzayın metriklenebilir olduğu biliniyorsa, ona homeomorf olan tüm uzaylar da metriklenebilirdir. - Urysohn Metrikleştirme Teoremi
Bu teoreme göre bir topolojik uzay düzenli (regular) ve sayılabilir bir tabana sahipse metriklenebilirdir. Topolojide metriklenebilirliği belirlemek için kullanılan en önemli sonuçlardan biridir.
Topolojide metriklenebilirlik konusu, uzayların yapısını daha iyi anlamayı sağlayan temel araçlardan biridir. Bu nedenle metriklenebilir uzaylar, hem genel topolojide hem de analizde merkezi bir role sahiptir.
