Kümeler Arasındaki Uzaklık

Bir metrik uzayda \((X,d)\) tanımlı \(A\) ve \(B\) kümeleri arasındaki uzaklık, bu iki kümeden seçilen noktalar arasındaki tüm olası uzaklıkların infimumu olarak tanımlanır. Başka bir ifadeyle, \(A\) ve \(B\) kümelerindeki noktaların birbirine ne kadar yaklaşabildiğini ölçer. Matematiksel olarak bu kavram şu şekilde ifade edilir: $$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A \ , \ b \in B \}, $$ Burada \(d(a,b)\), \(a\) ve \(b\) noktaları arasındaki uzaklığı; \(\inf\) (infimum) ise elde edilebilecek tüm uzaklıklar için en büyük alt sınırı ifade eder.

Dolayısıyla iki küme arasındaki uzaklığı belirlemek için, \(A\) kümesindeki her nokta ile \(B\) kümesindeki her nokta arasındaki uzaklıklar dikkate alınır ve bunların infimumu alınır.

Not: Kümeler arasındaki uzaklık, kümelerin birbirine ne kadar yaklaşabildiğini gösterir. Bu kavram, kümelerin mutlaka kesişmesini veya temas etmesini gerektirmez.

Uzaklığın Sıfır Olması Ne Anlama Gelir?

\(d(A,B)=0\) olması, \(A\) ve \(B\) kümelerindeki noktaların birbirine istenildiği kadar yaklaşabildiği anlamına gelir. Ancak bu durum, kümelerin mutlaka ortak bir noktaya sahip olduğu anlamına gelmez.

Bu nedenle iki küme ayrık olsa bile, yani

$$ A \cap B = \emptyset $$

olsa dahi aralarındaki uzaklık sıfır olabilir.

Örnekler

Kavramı daha iyi anlamak için, uzaklığın

$$ d(x_1,x_2)=|x_1-x_2| $$

şeklinde tanımlandığı sayı doğrusu üzerindeki üç farklı durumu inceleyelim.

A] Birbirinden Ayrı Kümeler

\(A=\{0\}\) ve \(B=[1,2]\) olsun.

Bu durumda \(A\) kümesindeki tek nokta olan \(0\), \(B\) kümesine en yakın olarak \(1\) noktasına yaklaşabilir. Aralarındaki uzaklık:

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(0,1) = 1 $$

olur.

Dolayısıyla bu iki küme arasındaki uzaklık \(1\)'dir.

B] Kesişen Kümeler

\(A=[0,1]\) ve \(B=[1,2]\) olsun.

Bu iki küme \(1\) noktasında kesişir. Bu nedenle aralarındaki uzaklık:

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(1,1) = 0 $$

olur.

Kümeler ayrık değildir, çünkü ortak bir noktaları vardır:

$$ A \cap B = \{1\} $$

C] Ayrık Olmalarına Rağmen Uzaklığı Sıfır Olan Kümeler

Şimdi daha ilginç bir örneğe bakalım.

\(A=(0,1)\) ve \(B=(1,2)\) olsun.

Bu durumda iki küme açık aralık olduğundan \(1\) noktası her iki kümeye de ait değildir. Dolayısıyla:

$$ A \cap B = \emptyset $$

ve kümeler ayrıdır.

Buna rağmen aralarındaki uzaklık sıfırdır:

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a,b) \mid a \in A, b \in B \}. $$

Bunun nedeni, \(A\) kümesindeki noktaların \(1\)'e soldan, \(B\) kümesindeki noktaların ise \(1\)'e sağdan istenildiği kadar yaklaşabilmesidir.

\(A\) kümesindeki bir nokta \(1\)'e sonsuz derecede yaklaşabilir, ancak açık aralık olduğu için hiçbir zaman \(1\)'e ulaşamaz. Aynı durum \(B\) için de geçerlidir.

Bu nedenle:

$$ d(A, B) = \inf \{ |a-b| \mid a \in A, b \in B \} = |1-1| = 0 $$

elde edilir.

Bu örnek, kümeler arasındaki uzaklığın yalnızca ortak nokta bulunup bulunmamasına bağlı olmadığını açıkça gösterir. Bazı durumlarda iki küme hiç kesişmez, ancak noktaları birbirine keyfî olarak yaklaşabildiği için aralarındaki uzaklık yine de sıfır olur.

Not: İki küme arasındaki uzaklığın sıfır olması, kümelerin aynı olduğu veya mutlaka temas ettiği anlamına gelmez. Bu kavramın temelinde, noktaların birbirine ne kadar yaklaşabildiği fikri yer alır.

Benzer şekilde başka örnekler de oluşturulabilir.