İzometrik Eşdeğerlik
İki metrik uzay arasında aşağıdaki koşulları sağlayan bir \(f : X \to Y\) fonksiyonu varsa, bu uzaylar izometrik olarak eşdeğer kabul edilir:
- Bijektif olması: \(X\) kümesindeki her eleman \(Y\) kümesinde tam olarak bir elemana karşılık gelir ve aynı durum ters yönde de geçerlidir.
- Uzaklıkları koruması: \(X\) uzayındaki herhangi iki nokta \(x_1, x_2 \in X\) için, bu noktalar arasındaki uzaklık ile görüntüleri \(f(x_1)\) ve \(f(x_2)\) arasındaki uzaklık aynıdır: $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$
Bu özellikleri sağlayan bir fonksiyona izometri denir. Böyle bir fonksiyon varsa, \(X\) ve \(Y\) metrik uzayları izometriktir ve metrik açıdan aynı yapıyı temsil eder.
İzometrik eşdeğerlik, iki metrik uzayın yalnızca benzer görünmesini değil, uzaklık yapılarının da tamamen aynı olmasını gerektirir. Başka bir deyişle, bir uzaydaki tüm mesafeler diğer uzayda eksiksiz biçimde korunmalıdır.
- İki metrik uzay izometrikse aynı topolojiyi oluştururlar. Bu nedenle açık kümeleri ve temel topolojik özellikleri aynıdır.
- Ancak aynı topolojiye sahip olmak, uzayların izometrik olduğu anlamına gelmez. Çünkü izometri, topolojik eşdeğerlikten daha güçlü bir koşuldur. Topolojik eşdeğerlik yalnızca açık kümelerin yapısını korurken, izometri tüm uzaklıkların birebir korunmasını gerektirir.
Basit Bir Örnek
Aşağıdaki iki metrik uzayı ele alalım:
- \(X = \{a, b, c\}\) ve \(d_X\) metriği: $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
- \(Y = \{p, q, r\}\) ve \(d_Y\) metriği: $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$
Şimdi \(f : X \to Y\) fonksiyonunu şu şekilde tanımlayalım:
$$ f(a) = p, \quad f(b) = q, \quad f(c) = r $$
Bu fonksiyonun uzaklıkları koruyup korumadığına bakalım:
- \(d_X(a, b) = 1\) ve \(d_Y(f(a), f(b)) = d_Y(p, q) = 1\)
- \(d_X(b, c) = 2\) ve \(d_Y(f(b), f(c)) = d_Y(q, r) = 2\)
- \(d_X(a, c) = 3\) ve \(d_Y(f(a), f(c)) = d_Y(p, r) = 3\)
Tüm uzaklıklar korunduğu için \(f\) bir izometridir. Dolayısıyla \(X\) ve \(Y\) metrik uzayları izometriktir. Yani bu iki uzay metrik açıdan eşdeğerdir.
Topoloji Aynı, Metrik Farklı Olabilir mi?
Evet. Bunun klasik örneklerinden biri, düzlem üzerindeki taksi metriği ile Öklid metriğidir.
Taksi metriğinde (\(d_T\)), \((x_1,y_1)\) ve \((x_2,y_2)\) noktaları arasındaki uzaklık şu şekilde hesaplanır:
$$ d_T((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$
Bu metrikte hareket yalnızca yatay ve düşey doğrultularda gerçekleşiyormuş gibi düşünülür. Bu nedenle adı, şehir sokaklarında ilerleyen bir taksiden gelir.
Buna karşılık standart Öklid metriği, iki nokta arasındaki doğrusal uzaklığı ölçer:
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$
Her iki metrik aynı topolojiyi üretse de, bunların izometrik olup olmadığını kontrol etmek gerekir.
Bunun için \(A=(1,1)\) ve \(B=(2,2)\) noktalarını ele alalım.
Taksi metriğine göre uzaklık:
$$ d_T((2, 2), (1, 1)) = |2 - 1| + |2 - 1| = 2 $$
Öklid metriğine göre uzaklık ise:
$$ d((1, 1), (2, 2)) = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 $$
Aynı iki nokta için elde edilen uzaklıklar farklı olduğundan, bu iki metrik arasında tüm mesafeleri koruyan bir izometri kurulamaz.
Sonuç olarak, taksi metriğiyle donatılmış düzlem ile Öklid metriğiyle donatılmış düzlem izometrik değildir.
Bu örnek önemli bir noktayı ortaya koyar: İki metrik uzay aynı topolojiye sahip olabilir, ancak yine de izometrik olmayabilir. Çünkü izometri, yalnızca açık kümelerin değil, tüm uzaklıkların da birebir korunmasını gerektirir.
Benzer durumlarla birçok farklı metrik uzayda karşılaşmak mümkündür.
