Metrik Uzaylarda Sürekliliğin Eşdeğer Tanımları

Bir fonksiyonun sürekli olması, matematikteki en temel kavramlardan biridir. Reel sayılar üzerinde tanımlı fonksiyonlar için bu kavram genellikle epsilon-delta yaklaşımıyla açıklanır. Ancak metrik uzaylar söz konusu olduğunda süreklilik, çok daha genel bir çerçevede ele alınabilir.

Bu teorem, metrik uzaylar arasında tanımlı bir fonksiyonun sürekliliğini karakterize eden farklı tanımların aslında aynı kavramı ifade ettiğini gösterir. Özellikle, topolojik süreklilik ile epsilon-delta tanımının birbirine eşdeğer olduğu ortaya konur.

$(X,d_X)$ metrik uzayından $(Y,d_Y)$ metrik uzayına tanımlı bir $f$ fonksiyonu, aşağıdaki koşulu sağlıyorsa süreklidir:

$X$ uzayında bir $x \in X$ noktası ve istenilen yakınlık düzeyini belirleyen herhangi bir $\varepsilon > 0$ pozitif sayısı seçilir.
Buna karşılık, $x$ noktasına ne kadar yaklaşılması gerektiğini belirleyen bir $\delta > 0$ pozitif sayısı bulunur.
Eğer bir $x'$ noktası $x$ noktasına yeterince yakınsa, yani $$ d_X(x,x') < \delta $$ ise, görüntü noktaları da $Y$ uzayında birbirine yakın olur ve $$ d_Y\bigl(f(x),f(x')\bigr) < \varepsilon $$ koşulu sağlanır.

Bu tanımın özü oldukça basittir: girişteki küçük değişiklikler, çıkışta da küçük değişikliklere neden olur. Sürekli bir fonksiyonun ani sıçramalar yapmaması fikri, epsilon-delta yaklaşımıyla matematiksel olarak kesin bir biçimde ifade edilir.

Bu yaklaşım genellikle “metrik uzaylarda sürekliliğin epsilon-delta tanımı” olarak bilinir. Aynı zamanda sürekliliğin farklı tanımlarının eşdeğer olduğunu gösteren temel sonuçların da başlangıç noktasını oluşturur.

Aslında burada anlatılan kavram, Analiz I dersinde öğrenilen süreklilik tanımının daha genel bir ortama taşınmış hâlidir. Reel sayılar üzerindeki süreklilik, metrik uzaylardaki genel teorinin özel bir durumudur.

Not: Analiz I dersinde $\mathbb{R}$ veya $\mathbb{R}^n$ üzerinde verilen süreklilik tanımı, burada sunulan genel çerçevenin özel bir durumudur. Analiz I’de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonu, $x\in\mathbb{R}$ noktasında sürekli kabul edilir; eğer her $\varepsilon > 0$ için, $|x-x'| < \delta$ olduğunda $|f(x)-f(x')| < \varepsilon$ koşulunu sağlayan bir $\delta > 0$ bulunabiliyorsa. Bu durumda kullanılan uzaklık fonksiyonları şunlardır: $$ d_X(x,x') = |x-x'| $$ $$ d_Y\bigl(f(x),f(x')\bigr) = |f(x)-f(x')| $$ Metrik uzaylar için verilen tanım yalnızca $\mathbb{R}$ üzerindeki fonksiyonlarla sınırlı değildir; herhangi iki metrik uzay arasında tanımlı fonksiyonlar için de geçerlidir. Buna rağmen temel fikir aynıdır: girdideki küçük değişimler, çıktıda da küçük değişimlere yol açar.

Açıklayıcı Bir Örnek
İspat

Açıklayıcı Bir Örnek

Kavramı daha somut hâle getirmek için basit bir örnek inceleyelim.

Aşağıdaki iki metrik uzayı ele alalım:

Tanım kümesi: $X=\mathbb{R}$, standart metrik $d_X(x,x')=|x-x'|$.
Değer kümesi: $Y=\mathbb{R}$, standart metrik $d_Y(y,y')=|y-y'|$.

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonu şu şekilde tanımlansın:

$$ f(x)=2x $$

Bu fonksiyonun sürekli olduğunu hem açık kümeler tanımıyla hem de epsilon-delta tanımıyla göstereceğiz. Böylece iki yaklaşımın aynı sonucu verdiğini doğrudan görebileceğiz.

1] Açık Kümeler Tanımına Göre Süreklilik

Standart metriğin oluşturduğu topolojide, $V\subseteq Y$ kümesi açıksa, her $y\in V$ noktası için öyle bir $\varepsilon>0$ vardır ki

$$ B_Y(y,\varepsilon)=\{y'\in Y \mid |y-y'|<\varepsilon\} $$

açık topu tamamen $V$ kümesinin içinde kalır.

$V\subseteq Y$ açık bir küme olsun. Bu kümenin ters görüntüsü

$$ f^{-1}(V)=\{x\in X \mid f(x)\in V\} $$

şeklinde tanımlanır.

$f(x)=2x$ olduğundan:

$$ f^{-1}(V)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2x\in V\} $$

$V$ açık olduğundan, her $y\in V$ için $B_Y(y,\varepsilon)\subseteq V$ olacak bir $\varepsilon>0$ seçilebilir.

Buna karşılık, $f^{-1}(V)$ kümesindeki herhangi bir $x$ noktası için $\delta=\varepsilon/2$ alınabilir. Böylece $B_X(x,\delta)$ açık topunun tamamı $f^{-1}(V)$ içinde kalır.

Sonuç olarak, $Y$ uzayındaki her açık kümenin ters görüntüsü $X$ uzayında da açıktır. Bu nedenle $f(x)=2x$ fonksiyonu topolojik anlamda süreklidir.

2] Epsilon-Delta Tanımına Göre Süreklilik

Şimdi aynı sonucu epsilon-delta yaklaşımıyla elde edelim.

$x\in X$ ve $\varepsilon>0$ olsun. Aradığımız şey, $|x-x'|<\delta$ olduğunda $|f(x)-f(x')|<\varepsilon$ koşulunu sağlayan bir $\delta>0$ değeridir.

Fonksiyonumuz için

$$ f(x)=2x \quad \text{ve} \quad f(x')=2x' $$

olduğundan:

$$ |f(x)-f(x')| = |2x-2x'| = 2|x-x'| $$

$|f(x)-f(x')|<\varepsilon$ olmasını sağlamak için

$$ \delta=\frac{\varepsilon}{2} $$

seçmek yeterlidir.

Gerçekten de

$$ |x-x'| < \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$

ise

$$ |f(x)-f(x')| = 2|x-x'| < 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$

elde edilir.

Böylece $f$ fonksiyonunun epsilon-delta tanımına göre sürekli olduğu gösterilmiş olur.

3] Sonuç

Bu örnek, sürekliliğin iki farklı tanımının aynı matematiksel olguyu ifade ettiğini açıkça göstermektedir:

$f(x)=2x$ fonksiyonunun sürekliliği, her açık kümenin ters görüntüsünün açık olmasını sağlar.
Topolojik süreklilik tanımı ile epsilon-delta tanımı birbirine eşdeğerdir.

İspat

Şimdi, $X$ ve $Y$ metrik uzayları arasında tanımlı bir $f:X\to Y$ fonksiyonu için sürekliliğin iki temel tanımının neden eşdeğer olduğunu gösterelim.

Açık küme tanımı: $Y$ içindeki her açık $U\subseteq Y$ kümesi için $f^{-1}(U)$ kümesi $X$ içinde açıktır.
Komşuluk tanımı: Her $x\in X$ ve $f(x)$'i içeren her açık $U\subseteq Y$ kümesi için, $x$'in bir komşuluğu olan ve $f(V)\subseteq U$ koşulunu sağlayan bir $V$ kümesi vardır.

1] Açık Küme Tanımından Komşuluk Tanımına

$f$ fonksiyonunun açık küme tanımına göre sürekli olduğunu varsayalım. Yani $Y$ içindeki her açık kümenin ters görüntüsü $X$ içinde açıktır.

$x\in X$ ve $f(x)$'i içeren açık bir $U\subseteq Y$ kümesi seçelim.

$f^{-1}(U)$ açık olduğundan, $x$'i içeren bir komşuluk $V$ vardır ve

$$ V\subseteq f^{-1}(U) $$

olur.

Bu durum doğrudan

$$ f(V)\subseteq U $$

sonucunu verir.

Dolayısıyla komşuluk tanımı sağlanmaktadır.

2] Komşuluk Tanımından Açık Küme Tanımına

Şimdi komşuluk tanımının geçerli olduğunu varsayalım.

$W\subseteq Y$ herhangi bir açık küme olsun. Amacımız, $f^{-1}(W)$ kümesinin $X$ içinde açık olduğunu göstermektir.

$x\in f^{-1}(W)$ alalım. Bu durumda

$$ f(x)\in W $$

olur.

$W$ açık ve $f(x)$'i içerdiği için, varsayım gereği $x$'in bir komşuluğu olan ve

$$ f(V)\subseteq W $$

koşulunu sağlayan bir $V$ kümesi vardır.

Bundan

$$ V\subseteq f^{-1}(W) $$

sonucu çıkar.

Dolayısıyla $f^{-1}(W)$ kümesindeki her nokta, bu kümenin içinde kalan bir komşuluğa sahiptir. Bu da $f^{-1}(W)$ kümesinin açık olduğunu gösterir.

Böylece açık kümeler tanımı ile komşuluk tanımının eşdeğer olduğu kanıtlanmış olur.

Bu sonuç, metrik uzaylarda sürekliliğin farklı biçimlerde ifade edilebilmesine rağmen, tüm bu tanımların aynı matematiksel kavramı tanımladığını göstermektedir.