Metrik Uzaylarda Sınırlı Kümeler
\(d\) fonksiyonunun noktalar arasındaki uzaklığı tanımladığı bir \((X,d)\) metrik uzayında, \(A \subseteq X\) altkümesine, \(\mu > 0\) olacak şekilde bir sayı bulunuyor ve \(A\) içindeki her \(x,y \in A\) noktası için \(d(x,y)\leq \mu\) koşulu sağlanıyorsa sınırlı (bounded) küme denir.
Başka bir deyişle, kümedeki tüm noktalar birbirlerinden en fazla belirli bir uzaklık kadar ayrılabilir. Bu uzaklık, kümenin tamamı için geçerli olan bir üst sınırdır.
Eğer tüm \(X\) kümesi, \(d\) metriğine göre sınırlıysa, bu durumda \(d\) metriğine sınırlı metrik adı verilir.
Bu da uzaydaki herhangi iki nokta arasındaki uzaklığın belirli bir değeri hiçbir zaman aşmadığı anlamına gelir.
Not: Eğer \(d\) metriği sınırlıysa, \(X\)'in her altkümesi de otomatik olarak sınırlıdır. Çünkü bir altkümedeki noktalar arasındaki uzaklıklar, tüm uzaydaki uzaklıklardan daha büyük olamaz.
Bir Örnek Üzerinden İnceleyelim
Kavramı daha somut hale getirmek için, Öklid uzaklığının kullanıldığı Kartezyen düzlem \(\mathbb{R}^2\)'yi ele alalım.
\((x_1,y_1)\) ve \((x_2,y_2)\) noktaları arasındaki uzaklık şu formülle hesaplanır:
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
Şimdi merkezi orijinde bulunan ve yarıçapı \(10\) olan kapalı diski düşünelim. Bu diskin içindeki ve üzerindeki tüm noktalar aşağıdaki kümeyi oluşturur:
$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$
Bir kümenin sınırlı olduğunu göstermek için, küme içindeki herhangi iki nokta arasındaki uzaklığın belirli bir üst sınırı aşmadığını kanıtlamak yeterlidir.
\(A\) kümesinde en büyük uzaklık, iki noktanın diskin çapının karşılıklı uçlarında yer aldığı durumda ortaya çıkar. Örneğin \((10,0)\) ve \((-10,0)\) noktalarını ele alalım.
Bu iki nokta arasındaki uzaklık:
$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-20)^2} = 20 $$
Dolayısıyla \(A\) kümesinde iki nokta arasındaki en büyük uzaklık \(20\)'dir.
Bu sonuç önemli bir bilgi verir: Disk içerisinde hangi iki noktayı seçerseniz seçin, aralarındaki uzaklık hiçbir zaman \(20\)'yi geçemez.
Bu nedenle \(A\) kümesi sınırlıdır ve bu küme için \(\mu=20\) seçilebilir. Başka bir ifadeyle, kümedeki tüm noktalar sonlu bir uzaklık sınırı içinde kalmaktadır.
Bir Metriğin Sınırlı Olması Topolojiyi Değiştirir mi?
Kısa cevap hayırdır.
Bir metriğin sınırlı veya sınırsız olması, onun oluşturduğu topolojiyi, yani açık ve kapalı kümelerin yapısını değiştirmez.
Topoloji nedir? Topoloji, bir uzayda hangi kümelerin açık, hangilerinin kapalı olduğunu belirleyen matematiksel yapıdır. Burada önemli olan uzaklıkların tam sayısal değerleri değil, noktaların birbirine nasıl yakınlaştığı ve hangi kümelerin komşuluk oluşturduğudur.
Bu nedenle sınırsız bir metrik yerine, aynı topolojik yapıyı koruyan eşdeğer bir sınırlı metrik kullanılabilir.
Başka bir deyişle, bir metriğin sınırlı olup olmaması açık kümeleri, kapalı kümeleri ve süreklilik gibi temel topolojik kavramları değiştirmez.
Sınırsız Bir Metrik Nasıl Sınırlı Hale Getirilir?
Bunun için büyük uzaklıkları sıkıştıran, ancak uzayın topolojik özelliklerini koruyan özel dönüşümler kullanılabilir.
En yaygın yöntemlerden biri şu dönüşümdür:
$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$
Bu dönüşümün temel fikri oldukça basittir.
\(d(x,y)\) küçük olduğunda, yeni uzaklık \(d'(x,y)\) eski uzaklığa çok yakın kalır.
Örneğin \(d(x,y)=1\) ise:
$$ d'(x, y) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $$
Buna karşılık, \(d(x,y)\) çok büyüdükçe \(d'(x,y)\) değeri giderek \(1\)'e yaklaşır.
Böylece başlangıçtaki uzaklıklar ne kadar büyük olursa olsun, dönüştürülmüş metrikteki tüm uzaklıklar \(0\) ile \(1\) arasında kalır.
Şimdi bunu somut bir örnekle görelim.
\((X,d)\) metrik uzayında uzaklığın
$$ d(x,y)=|x-y| $$
şeklinde tanımlandığını varsayalım. Bu, reel doğru üzerindeki standart Öklid metriğidir.
Bu metrik sınırsızdır; çünkü iki sayı arasındaki fark istenildiği kadar büyük olabilir.
Dönüşüm uygulandığında yeni metrik şu olur:
$$ d'(x, y) = \frac{|x - y|}{1 + |x - y|} $$
Eğer \(x=1\) ve \(y=2\) ise:
$$ d(1,2)=1 $$
ve yeni uzaklık
$$ d'(1, 2) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $$
olur.
Eğer \(x=1\) ve \(y=1000\) ise:
$$ d(1,1000)=999 $$
ve yeni uzaklık
$$ d'(1, 1000) = \frac{999}{1 + 999} = 0.999 $$
olur.
Görüldüğü gibi, başlangıçta çok büyük olan uzaklıklar bile dönüşüm sonrasında \(1\)'i aşmaz.
Buna rağmen uzayın topolojik yapısı değişmez. Çünkü \(d\) ve \(d'\) metrikleri aynı açık kümeleri ve aynı kapalı kümeleri üretir.
Bu nedenle topolojide, bir metriğin sınırlı olup olmaması çoğu zaman ikincil bir özelliktir. Asıl önemli olan, metriğin uzay üzerinde oluşturduğu topolojik yapıdır.
