Eşdeğer Sınırlı Metrik Teoremi

Bir metrik uzayda \( (X, d) \), \( d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) \) biçiminde yeni bir sınırlı metrik tanımlanabilir. İlginç olan nokta, bu yeni metriğin \( d \) metriğiyle aynı topolojiyi oluşturmasıdır. Başka bir ifadeyle, metrik değişse bile açık kümeler değişmez ve uzayın topolojik yapısı korunur.

Bu fikir ilk bakışta şaşırtıcı görünebilir. Çünkü \( d' \) metriği büyük uzaklıkları keserek en fazla 1 olacak şekilde sınırlar. Buna rağmen noktaların birbirine yakınlığı açısından önemli olan topolojik özellikler aynı kalır.

Yeni metrik şu şekilde tanımlanır:

$$ d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) $$

Bu tanıma göre \( d(x,y) \) değeri 1'den küçükse veya 1'e eşitse herhangi bir değişiklik olmaz. Ancak uzaklık 1'i aşıyorsa, yeni metrik bu değeri doğrudan 1 olarak kabul eder.

Dolayısıyla \( d' \) sınırlı bir metriktir ve hiçbir zaman 1'den büyük bir değer alamaz.

Buna rağmen \( d' \) metriğinin indüklediği topoloji ile \( d \) metriğinin indüklediği topoloji aynıdır. Yani her iki metrik de aynı açık kümeleri üretir.

Not: Burada kullanılan \(1\) değeri özel bir seçim değildir. Herhangi bir \(\varepsilon > 0\) için de aynı yöntem uygulanabilir: $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $$ Bu durumda tüm uzaklıklar \(\varepsilon\) ile sınırlandırılır. Ancak ortaya çıkan topoloji yine değişmez. Anlatımı kolaylaştırmak amacıyla bu sayfada \(\varepsilon = 1\) alınacaktır.

Bir Örnek

\( \mathbb{R} \) kümesini standart metrik ile ele alalım:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

Şimdi aşağıdaki sınırlı metriği tanımlayalım:

$$ d'(x, y) = \min(|x - y|, 1) $$

Bu yeni metrikte hiçbir uzaklık değeri 1'i geçemez.

Örneğin \( x = 2 \) ve \( y = 5 \) olsun. Standart metrikte uzaklık \( d(2,5)=|2-5|=3 \) olur. Yeni metrikte ise \( d'(2,5)=\min(3,1)=1 \) elde edilir. Buna karşılık \( x=2 \) ve \( y=2.5 \) için uzaklık \( |2-2.5|=0.5 \) olduğundan herhangi bir kırpma işlemi uygulanmaz ve \( d'(2,2.5)=0.5 \) olur. Bu durumda iki metrik aynı sonucu verir. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$

Görüldüğü gibi \( d' \) metriği yalnızca büyük uzaklıkları sınırlar. Yakın noktalar arasındaki ilişkiler ise değişmeden kalır. Topolojinin korunmasının temel nedeni de budur.

Topoloji Neden Değişmez?

Bir topolojide açık kümeler, açık topların birleşimleri yardımıyla tanımlanır.

\( d' \) metriğine göre oluşturulan açık toplar bazı durumlarda \( d \) metriğine göre oluşturulanlardan daha küçük olabilir. Ancak bu durum bir sorun yaratmaz. Çünkü birden fazla küçük açık top bir araya getirilerek aynı açık kümeler elde edilebilir.

Bunu somut bir örnekle görelim.

Merkezi \( 3 \), yarıçapı \( 2 \) olan aşağıdaki açık topu ele alalım:

$$ B_d(3,2) $$

Genel tanıma göre:

$$ B_d(x,r)=\{y \in \mathbb{R} \mid d(x,y)

Burada \( x=3 \) ve \( r=2 \) olduğundan:

$$ B_d(3,2)=\{y \in \mathbb{R} \mid d(3,y)<2\} $$

Standart metrik kullanıldığında:

$$ |3-y|<2 $$

Bu eşitsizliği adım adım çözelim:

$$ -2 < 3-y < 2 $$

$$ -5 < -y < -1 $$

$$ 1 < y < 5 $$

Dolayısıyla:

$$ B_d(3,2)=(1,5) $$

Yani açık top, sayı doğrusunda \( (1,5) \) açık aralığına karşılık gelir.

Aşağıdaki şekil bunu görsel olarak göstermektedir:

Şimdi aynı aralığı \( d' \) metriği yardımıyla elde etmeye çalışalım.

Aşağıdaki iki açık topun birleşimini ele alalım:

$$ B_{d'}(2,1)\cup B_{d'}(3,1) $$

İlk top \( (1,3) \) aralığını, ikinci top ise \( (3,5) \) aralığını kapsar. Bu iki kümenin birleşimi \( (1,5) \) aralığını tamamen örter.

Bu örnek, sınırlı metrik kullanıldığında bile aynı açık kümelerin elde edilebildiğini açıkça göstermektedir. Dolayısıyla topolojik yapı değişmez.

İspat

Şimdi \( d' \) metriğinin gerçekten bir metrik olduğunu ve \( d \) ile aynı topolojiyi oluşturduğunu gösterelim.

Öncelikle \( d' \)'nin bir metrik olması gerekir. Bunun için aşağıdaki dört koşulu sağlamalıdır:

• \( d'(x,y)\geq0 \),
• \( d'(x,y)=0 \) ancak ve ancak \( x=y \) ise,
• \( d'(x,y)=d'(y,x) \),
• \( d' \) üçgen eşitsizliğini sağlar.

Şimdi \( d \) tarafından indüklenen \( T \) topolojisi ile \( d' \) tarafından indüklenen \( T' \) topolojisinin aynı olduğunu gösterelim.

Bunun için iki kapsama ilişkisini kanıtlamak yeterlidir:

• \( T \subseteq T' \),
• \( T' \subseteq T \).

A) \( T \), \( T' \)'den Daha İncedir

• \( r \leq 1 \) ise açık toplar aynıdır: $$ B_d(x,r)=B_{d'}(x,r) $$
• \( r>1 \) ise \( d \) metriğine göre tanımlanan açık top, \( d' \) metriğine göre tanımlanan karşılık gelen açık topu içerir: $$ B_d(x,r)\supseteq B_{d'}(x,r) $$

Bu nedenle \( T \), \( T' \)'den daha incedir.

B) \( T' \), \( T \)'den Daha İncedir

• \( r \leq 1 \) olduğunda yine aynı açık toplar elde edilir.
• \( r>1 \) olduğunda ise daha küçük \( d' \)-açık toplarının birleşimleri kullanılarak \( d \)'ye göre açık olan her küme elde edilebilir.

Dolayısıyla \( T' \) de \( T \)'den daha incedir.

Sonuç

Hem \( T \subseteq T' \) hem de \( T' \subseteq T \) olduğundan:

$$ T=T' $$

Sonuç olarak \( d \) ve \( d' \) metrikleri aynı topolojiyi indükler. Bu teorem, her metrik uzayın topolojik yapısını değiştirmeden eşdeğer bir sınırlı metrikle tanımlanabileceğini gösteren temel sonuçlardan biridir.