Teorema Basis pada Topologi yang Diinduksi oleh Metrik
Dalam suatu ruang metrik \((X, d)\), himpunan semua bola terbuka $$ \mathcal{B} = \{B_d(x, \varepsilon) \mid x \in X, \varepsilon > 0\} $$ membentuk sebuah basis bagi topologi pada \(X\).
Dalam topologi, basis berperan sebagai kumpulan himpunan dasar yang digunakan untuk membangun semua himpunan terbuka lainnya. Dengan kata lain, setiap himpunan terbuka dalam suatu topologi dapat dinyatakan sebagai gabungan himpunan-himpunan yang berasal dari basis tersebut.
Suatu koleksi himpunan \(\mathcal{B}\) disebut basis apabila memenuhi dua syarat berikut:
- Setiap titik \(x \in X\) harus berada di dalam setidaknya satu himpunan \(B \in \mathcal{B}\). (Sifat peliputan)
- Jika suatu titik \(x\) berada pada irisan dua himpunan basis \(B_1\) dan \(B_2\), maka harus ada himpunan basis lain \(B_3\) yang memuat \(x\) dan seluruhnya berada di dalam irisan tersebut. (Kompatibilitas terhadap irisan)
Teorema basis menyatakan bahwa koleksi semua bola terbuka \(B_d(x, \varepsilon)\) memenuhi kedua syarat tersebut. Oleh karena itu, bola-bola terbuka dapat digunakan untuk mendefinisikan topologi pada suatu ruang metrik.
Bola terbuka adalah himpunan semua titik \(y \in X\) yang berjarak kurang dari \(\varepsilon\) terhadap titik pusat \(x\): $$ B_d(x, \varepsilon) = \{y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon\}. $$
Makna penting teorema ini adalah bahwa seluruh struktur topologi suatu ruang metrik dapat dipahami hanya dengan menggunakan bola-bola terbuka. Itulah sebabnya bola terbuka menjadi konsep fundamental dalam topologi metrik.
Contoh
Untuk memahami teorema ini dengan lebih konkret, perhatikan himpunan berikut pada bidang \(\mathbb{R}^2\):
$$ A = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 < x_1^2 + x_2^2 < 4 \} $$
Secara geometris, himpunan ini membentuk sebuah anulus, yaitu daerah yang terletak di antara dua lingkaran sepusat dengan jari-jari 1 dan 2.
Karena batas kedua lingkaran tidak termasuk dalam himpunan tersebut, maka \(A\) merupakan himpunan terbuka.
Bagaimana cara menuliskan himpunan \(A\) sebagai gabungan bola-bola terbuka?
Menurut teorema basis, hal ini selalu dapat dilakukan.
Kita cukup memilih sejumlah bola terbuka yang berpusat pada titik-titik di dalam anulus, dengan jari-jari yang cukup kecil sehingga seluruh bola tetap berada di dalam himpunan \(A\).
Sebagai contoh, ambil bola terbuka yang berpusat di titik \(p_1 = (1.5, 0)\) dengan jari-jari \(\varepsilon_1 = 0.3\):
$$ B1_d((1.5, 0), 0.3) = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid d((1.5, 0), (x_1, x_2)) < 0.3\} $$
Bola terbuka ini seluruhnya terkandung di dalam anulus \(A\).
Selanjutnya, ambil bola terbuka lain yang berpusat di titik \(p_2 = (-1.5, 0)\) dengan jari-jari \(\varepsilon_2 = 0.4\):
$$ B2_d((-1.5, 0), 0.4) = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid d((-1.5, 0), (x_1, x_2)) < 0.4\} $$
Bola terbuka ini juga seluruhnya berada di dalam anulus \(A\).
Proses yang sama dapat diulangi untuk banyak titik lain di dalam anulus. Dengan memilih jari-jari yang sesuai, setiap bola terbuka akan tetap berada di dalam \(A\).
Pada akhirnya, seluruh bagian anulus dapat ditutupi oleh gabungan bola-bola terbuka tersebut tanpa menyisakan area yang tidak tercakup.
Secara matematis, hal ini dapat ditulis sebagai:
$$ A = \bigcup_{i} B_d(x_i, \varepsilon_i) $$
di mana \(x_i\) adalah pusat bola terbuka dan \(\varepsilon_i\) adalah jari-jarinya.
Setiap bola \(B_d(x_i, \varepsilon_i)\) dipilih sedemikian rupa sehingga seluruh bagiannya tetap berada di dalam himpunan \(A\).
Contoh ini memperlihatkan bahwa setiap himpunan terbuka di \(\mathbb{R}^2\), termasuk anulus \(A\), dapat dinyatakan sebagai gabungan bola-bola terbuka.
Dengan demikian, bola-bola terbuka dapat dipandang sebagai "blok penyusun" yang membentuk seluruh himpunan terbuka dalam topologi yang diinduksi oleh metrik.
Bukti
Tujuan pembuktian ini adalah menunjukkan bahwa koleksi semua bola terbuka dalam ruang metrik \((X, d)\) benar-benar memenuhi syarat sebagai basis topologi.
Untuk itu, kita cukup memeriksa dua syarat dasar yang telah disebutkan sebelumnya.
1] Setiap titik harus berada di dalam suatu bola terbuka
Syarat pertama sangat mudah dibuktikan.
Untuk setiap titik \(x \in X\), kita dapat membentuk bola terbuka \(B_d(x, \varepsilon)\) dengan jari-jari \(\varepsilon > 0\).
Karena bola tersebut berpusat di \(x\), maka jelas bahwa \(x\) merupakan anggota dari \(B_d(x, \varepsilon)\).
Akibatnya, setiap titik dalam \(X\) berada di dalam setidaknya satu bola terbuka.
Jadi, syarat pertama terpenuhi.
2] Irisan dua bola terbuka harus mengandung bola terbuka yang lebih kecil
Misalkan \(B_1\) dan \(B_2\) adalah dua bola terbuka dan suatu titik \(x\) berada pada irisan keduanya:
$$ x \in B_1 \cap B_2 $$
Kita harus menunjukkan bahwa terdapat sebuah bola terbuka yang berpusat di \(x\) dan seluruhnya berada di dalam irisan tersebut.
Karena \(x\) berada di dalam \(B_1\), maka terdapat suatu radius \(\delta_1\) sehingga:
$$ B_d(x,\delta_1) \subseteq B_1 $$
Demikian pula, karena \(x\) berada di dalam \(B_2\), terdapat suatu radius \(\delta_2\) sehingga:
$$ B_d(x,\delta_2) \subseteq B_2 $$
Sekarang pilih radius yang lebih kecil dari keduanya:
$$ \delta = \min\{\delta_1,\delta_2\} $$
Dengan pilihan ini, bola terbuka \(B_d(x,\delta)\) akan berada sekaligus di dalam \(B_1\) dan \(B_2\).
Dengan kata lain:
$$ B_d(x,\delta) \subseteq B_1 \cap B_2 $$
Karena selalu dapat ditemukan bola terbuka seperti itu, syarat kedua juga terpenuhi.
Dengan demikian, kedua syarat basis telah terbukti berlaku.
Oleh karena itu, koleksi semua bola terbuka membentuk sebuah basis bagi topologi pada \(X\).
Topologi yang dibangun dari basis ini dikenal sebagai topologi yang diinduksi oleh metrik atau topologi metrik.
Inilah alasan mengapa bola terbuka memiliki peran sentral dalam studi ruang metrik dan topologi.
