Jarak Antara Himpunan

Jarak antara dua himpunan $A$ dan $B$ dalam ruang metrik $(X, d)$ adalah infimum dari semua jarak antara titik-titik di $A$ dan titik-titik di $B$. Secara matematis, definisi ini dituliskan sebagai berikut: $$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A \ , \ b \in B \}, $$ di mana $d(a,b)$ menyatakan jarak antara titik $a$ dan $b$ menurut metrik $d$, sedangkan $\inf$ (infimum) adalah batas bawah terbesar dari kumpulan semua jarak tersebut.

Secara intuitif, jarak antara dua himpunan menunjukkan seberapa dekat titik-titik dari kedua himpunan dapat berada satu sama lain.

Untuk menentukannya, kita mempertimbangkan semua pasangan titik yang mungkin, yaitu satu titik dari $A$ dan satu titik dari $B$, lalu mencari nilai jarak terkecil yang dapat dicapai atau didekati oleh pasangan-pasangan tersebut.

Catatan: Jarak antara dua himpunan tidak selalu menunjukkan bahwa keduanya saling bersentuhan. Konsep ini hanya mengukur seberapa dekat titik-titik dari kedua himpunan dapat saling mendekat.

Ketika Jarak Bernilai Nol
Contoh Praktis

Ketika Jarak Bernilai Nol

Jika $d(A,B)=0$, artinya terdapat titik-titik di $A$ dan $B$ yang dapat dibuat saling mendekat tanpa batas.

Namun, hal ini tidak selalu berarti bahwa kedua himpunan memiliki titik yang sama atau saling bersentuhan.

Karena itu, dua himpunan yang saling lepas sekalipun, yaitu memenuhi

$$ A \cap B = \emptyset, $$

tetap dapat memiliki jarak sebesar $0$.

Contoh Praktis

Misalkan kita bekerja pada ruang metrik yang terdiri atas semua titik pada garis real, dengan fungsi jarak

$$ d(x_1,x_2)=|x_1-x_2|. $$

Berikut adalah tiga situasi yang menunjukkan bagaimana jarak antara himpunan dapat dihitung.

A] Kasus 1

Misalkan

$$ A=\{0\}, \qquad B=[1,2]. $$

Titik terdekat di $B$ terhadap titik $0$ adalah $1$. Oleh karena itu,

$$ d(A, B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}=d(0,1)=1. $$

Jadi, jarak antara kedua himpunan adalah $1$.

contoh jarak antara dua himpunan pada garis real

B] Kasus 2

Sekarang misalkan

$$ A=[0,1], \qquad B=[1,2]. $$

Kedua himpunan memiliki titik bersama, yaitu $1$. Karena terdapat pasangan titik yang berimpit, maka

$$ d(A, B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}=d(1,1)=0. $$

Dengan demikian, jarak antara kedua himpunan adalah nol.

contoh dua himpunan yang bersentuhan

Kedua himpunan tidak saling lepas karena

$$ A \cap B = \{1\}. $$

C] Kasus 3

Terakhir, misalkan

$$ A=(0,1), \qquad B=(1,2). $$

Pada kasus ini, kedua himpunan merupakan interval terbuka. Titik $1$ tidak termasuk dalam $A$ maupun $B$, sehingga

$$ A \cap B=\emptyset. $$

Meskipun demikian, jarak antara keduanya tetap bernilai nol:

$$ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}. $$

Mengapa demikian?

Karena kita dapat memilih titik $a$ yang semakin mendekati $1$ dari kiri dan titik $b$ yang semakin mendekati $1$ dari kanan. Jarak antara kedua titik tersebut dapat dibuat sekecil mungkin, meskipun tidak pernah benar-benar mencapai titik $1$.

contoh dua himpunan saling lepas dengan jarak nol

Titik $a$ dapat mendekati $1$ tanpa batas, tetapi tidak pernah mencapainya karena $A$ adalah interval terbuka.

Demikian pula, titik $b$ dapat mendekati $1$ tanpa batas, tetapi tidak pernah mencapainya karena $B$ juga merupakan interval terbuka.

Akibatnya,

$$ d(A,B)=\inf\{|a-b|\mid a\in A,\; b\in B\}=|1-1|=0. $$

Contoh ini menunjukkan bahwa dua himpunan dapat memiliki jarak nol meskipun tidak mempunyai titik persekutuan.

Catatan: Dalam teori ruang metrik, jarak nol tidak selalu berarti dua himpunan identik atau saling bersentuhan. Yang terpenting adalah bahwa terdapat pasangan titik dari kedua himpunan yang dapat dibuat saling mendekat tanpa batas.

Dan seterusnya.