Isometri pada Ruang Metrik
Dua ruang metrik dikatakan isometrik apabila terdapat suatu fungsi \(f : X \to Y\) yang memenuhi dua syarat berikut:
- Bijektif: setiap elemen di \(X\) dipasangkan dengan tepat satu elemen di \(Y\), dan setiap elemen di \(Y\) berasal dari tepat satu elemen di \(X\).
- Mempertahankan jarak: untuk setiap pasangan titik \(x_1, x_2 \in X\), jarak di ruang \(X\) harus sama persis dengan jarak antara citranya di ruang \(Y\). Secara matematis: $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$
Jika fungsi seperti itu ada, maka fungsi tersebut disebut isometri, dan kedua ruang metrik tersebut disebut isometrik.
Secara sederhana, konsep isometri digunakan untuk menentukan apakah dua ruang metrik memiliki struktur jarak yang benar-benar sama. Walaupun elemen-elemen di dalam kedua ruang bisa berbeda, semua hubungan jaraknya tetap identik.
Karena itu, dua ruang yang isometrik dapat dianggap sebagai representasi berbeda dari objek geometris yang sama.
- Jika dua ruang metrik isometrik, maka keduanya pasti memiliki topologi yang sama. Dengan kata lain, himpunan terbuka dan struktur topologinya identik.
- Namun, dua ruang yang memiliki topologi yang sama belum tentu isometrik. Isometri merupakan syarat yang lebih kuat karena tidak hanya mempertahankan struktur topologi, tetapi juga mempertahankan setiap jarak secara tepat.
Contoh Sederhana
Misalkan kita memiliki dua ruang metrik berikut:
- \(X = \{a, b, c\}\) dengan metrik \(d_X\): $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
- \(Y = \{p, q, r\}\) dengan metrik \(d_Y\): $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$
Definisikan fungsi berikut:
$$ f(a) = p, \quad f(b) = q, \quad f(c) = r $$
Sekarang periksa apakah fungsi tersebut mempertahankan jarak:
- \(d_X(a, b) = 1\), dan \(d_Y(f(a), f(b)) = d_Y(p, q) = 1\)
- \(d_X(b, c) = 2\), dan \(d_Y(f(b), f(c)) = d_Y(q, r) = 2\)
- \(d_X(a, c) = 3\), dan \(d_Y(f(a), f(c)) = d_Y(p, r) = 3\)
Semua jarak tetap sama setelah pemetaan dilakukan. Oleh karena itu, \(f\) merupakan suatu isometri dan ruang metrik \(X\) serta \(Y\) adalah ruang yang isometrik.
Metrik Taksi dan Metrik Euclidean
Contoh berikut menunjukkan bahwa memiliki topologi yang sama tidak selalu berarti dua ruang bersifat isometrik.
Pada bidang \(\mathbb{R}^2\), metrik taksi (taxicab metric) dan metrik Euclidean menghasilkan topologi yang sama. Keduanya memiliki konsep himpunan terbuka yang identik. Namun, apakah keduanya juga isometrik?
Pada metrik taksi \((d_T)\), jarak antara dua titik dihitung sebagai:
$$ d_T((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$
Jarak diukur dengan mengikuti jalur horizontal dan vertikal, seperti kendaraan yang bergerak di sepanjang jalan-jalan kota berbentuk kisi.
Sebaliknya, metrik Euclidean mengukur jarak garis lurus antara dua titik:
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$
Perhatikan dua titik berikut:
$$ A = (1,1), \qquad B = (2,2) $$
Dengan metrik taksi, jarak antara kedua titik adalah:
$$ d_T((2, 2), (1, 1)) = |2 - 1| + |2 - 1| = 2 $$
Dengan metrik Euclidean, jaraknya adalah:
$$ d((1, 1), (2, 2)) = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 $$
Nilai jarak yang diperoleh berbeda. Ini menunjukkan bahwa struktur geometris kedua metrik tidak sama.
Perbedaannya juga terlihat dari bentuk bola terbuka yang dihasilkan oleh masing-masing metrik. Pada metrik Euclidean, bola terbuka berbentuk lingkaran. Pada metrik taksi, bola terbuka berbentuk belah ketupat.
Karena struktur jaraknya berbeda, tidak ada isometri yang dapat mengubah satu ruang menjadi ruang lainnya sambil mempertahankan semua jarak secara tepat. Dengan demikian, bidang dengan metrik taksi tidak isometrik dengan bidang yang menggunakan metrik Euclidean.
Kesimpulan
Isometri merupakan konsep yang digunakan untuk menentukan apakah dua ruang metrik benar-benar memiliki struktur jarak yang sama.
Jika dua ruang isometrik, maka keduanya otomatis memiliki topologi yang sama. Namun, kesamaan topologi saja tidak cukup untuk menjamin adanya isometri.
Contoh metrik taksi dan metrik Euclidean menunjukkan bahwa dua ruang dapat memiliki topologi yang identik, tetapi tetap berbeda secara metrik karena cara pengukuran jaraknya tidak sama.
Dan seterusnya.
