Teorema Perbandingan Topologi yang Diinduksi oleh Dua Metrik

Misalkan $d$ dan $d'$ adalah dua metrik pada suatu himpunan $X$, dan $\mathcal{T}$ serta $\mathcal{T}'$ masing-masing menyatakan topologi yang diinduksi oleh $d$ dan $d'$. Topologi $\mathcal{T}'$ dikatakan lebih halus (finer) daripada $\mathcal{T}$ jika dan hanya jika, untuk setiap $x \in X$ dan setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sehingga: $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$ dengan $B_d(x,\varepsilon)$ dan $B_{d'}(x,\delta)$ masing-masing menyatakan bola terbuka yang berpusat di $x$ dengan jari-jari $\varepsilon$ dan $\delta$.

Teorema ini memberikan kriteria yang sangat berguna untuk membandingkan dua topologi yang berasal dari metrik yang berbeda pada himpunan yang sama.

Jika suatu himpunan $X$ dilengkapi dengan dua metrik, yaitu $d$ dan $d'$, maka masing-masing metrik akan menghasilkan topologi tersendiri:

Topologi $\mathcal{T}$, yang diinduksi oleh metrik $d$
Topologi $\mathcal{T}'$, yang diinduksi oleh metrik $d'$

Pertanyaannya adalah: kapan salah satu topologi lebih halus daripada yang lain?

Menurut teorema ini, topologi $\mathcal{T}'$ lebih halus daripada $\mathcal{T}$ jika dan hanya jika setiap bola terbuka dalam metrik $d$ selalu memuat sebuah bola terbuka yang berasal dari metrik $d'$ dan berpusat di titik yang sama.

Dengan kata lain, di sekitar setiap titik dan untuk setiap lingkungan yang dibentuk oleh metrik $d$, selalu dapat ditemukan lingkungan yang lebih kecil dari metrik $d'$ yang seluruhnya berada di dalamnya.

Cara pandang ini membantu kita memahami hubungan antara dua topologi secara langsung melalui perilaku bola-bola terbukanya.

Contoh
Pembuktian

Contoh

Untuk melihat bagaimana teorema ini bekerja, perhatikan himpunan $X = \mathbb{R}^2$, yaitu bidang Kartesius, yang dilengkapi dengan dua metrik berikut.

Metrik Euclid: $d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Pada metrik ini, bola terbuka berbentuk cakram terbuka: $$ B_d((x, y), \varepsilon) = \{(u, v) \in \mathbb{R}^2 : \sqrt{(u - x)^2 + (v - y)^2} < \varepsilon\} $$
Metrik Diskret: $d'((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \begin{cases} 0 & \text{jika } (x_1, y_1) = (x_2, y_2), \\ 1 & \text{jika } (x_1, y_1) \neq (x_2, y_2). \end{cases}$ Bola terbuka pada metrik ini diberikan oleh: \[ B_{d'}((x, y), \delta) = \begin{cases} \{(x, y)\} & \text{jika } \delta \leq 1, \\ X & \text{jika } \delta > 1. \end{cases} \]

Kita akan menunjukkan bahwa topologi diskret lebih halus daripada topologi Euclid.

Berdasarkan teorema:

$$ \mathcal{T}' \text{ lebih halus daripada } \mathcal{T} \iff \forall x \in X,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 \text{ sehingga } B_{d'}(x,\delta) \subseteq B_d(x,\varepsilon) $$

Ambil sembarang titik $P=(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$ dan sebuah jari-jari $\varepsilon>0$.

Pada topologi Euclid, himpunan $B_d(P,\varepsilon)$ merupakan cakram terbuka yang berpusat di $P$.

Sekarang perhatikan bola terbuka pada metrik diskret yang berpusat di titik yang sama. Berdasarkan definisinya:

Jika $\delta \leq 1$, maka $B_{d'}(P,\delta)=\{P\}$.
Jika $\delta > 1$, maka $B_{d'}(P,\delta)=X$.

Karena setiap singleton merupakan himpunan terbuka dalam topologi diskret, kita cukup memilih $\delta = 1$.

Dengan pilihan tersebut diperoleh:

$$ B_{d'}(P,\delta)=\{P\} $$

dan jelas bahwa:

$$ \{P\} \subseteq B_d(P,\varepsilon) $$

karena titik $P$ selalu berada di dalam bola terbuka Euclid yang berpusat di dirinya sendiri.

Akibatnya, untuk setiap titik $P$ dan setiap $\varepsilon>0$, selalu ada $\delta>0$ sehingga:

$$ B_{d'}(P,\delta)\subseteq B_d(P,\varepsilon) $$

Sebagai ilustrasi, ambil titik $P=(1,2)\in\mathbb{R}^2$. Dalam topologi Euclid, bola terbuka dengan pusat di $P$ dan jari-jari $\varepsilon=0.4$ merupakan sebuah himpunan terbuka.
perbandingan topologi Euclid dan topologi diskret
Dalam topologi diskret, himpunan $\{P\}$ juga terbuka. Karena titik $P$ berada di dalam cakram Euclid tersebut, maka $\{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon)$. Argumen yang sama berlaku untuk setiap titik lain pada bidang Kartesius. Dengan demikian, setiap bola terbuka Euclid memuat sebuah himpunan terbuka dari topologi diskret.

Oleh karena syarat dalam teorema terpenuhi, dapat disimpulkan bahwa topologi diskret memang lebih halus daripada topologi Euclid.

Pembuktian

Pembuktian dilakukan dengan menunjukkan kedua arah implikasi dalam teorema.

Jika $\mathcal{T}'$ lebih halus daripada $\mathcal{T}$, maka untuk setiap $x \in X$ dan setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sehingga $B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)$.
Jika untuk setiap $x \in X$ dan setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sehingga $B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)$, maka $\mathcal{T}'$ lebih halus daripada $\mathcal{T}$.

Pembuktian dibagi menjadi dua bagian.

A] Arah Pertama

Andaikan $\mathcal{T}'$ lebih halus daripada $\mathcal{T}$.

Menurut definisi, setiap himpunan terbuka dalam $\mathcal{T}$ juga merupakan himpunan terbuka dalam $\mathcal{T}'$.
Karena setiap bola terbuka $B_d(x,\varepsilon)$ terbuka dalam $\mathcal{T}'$, maka setiap titik $x$ di dalam bola tersebut memiliki lingkungan terbuka $B_{d'}(x,\delta)$ yang seluruhnya termuat di dalam $B_d(x,\varepsilon)$.
Dengan demikian, untuk setiap $x\in X$ dan setiap $\varepsilon>0$, terdapat $\delta>0$ sehingga: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$

B] Arah Kedua

Sekarang andaikan bahwa untuk setiap $x\in X$ dan setiap $\varepsilon>0$, terdapat $\delta>0$ sehingga:

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$

Kita akan menunjukkan bahwa $\mathcal{T}'$ lebih halus daripada $\mathcal{T}$.

Ambil sembarang himpunan terbuka $U$ dalam topologi $\mathcal{T}$.
Karena $U$ terbuka, maka untuk setiap titik $x \in U$ terdapat sebuah bola terbuka $B_d(x,\varepsilon)$ yang memenuhi: $$ B_d(x,\varepsilon)\subseteq U $$
Berdasarkan asumsi, terdapat bola terbuka $B_{d'}(x,\delta)$ sehingga: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$
Akibatnya, $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq U $$ sehingga setiap titik dalam $U$ memiliki lingkungan terbuka yang seluruhnya berada di dalam $U$.
Oleh karena itu, $U$ juga terbuka dalam topologi $\mathcal{T}'$.

Dengan demikian, setiap himpunan terbuka dalam $\mathcal{T}$ juga terbuka dalam $\mathcal{T}'$, sehingga $\mathcal{T}'$ lebih halus daripada $\mathcal{T}$.

Pembuktian selesai.

Dan seterusnya.